¿Hay demasiados números primos de 8 cifras $p$ para los primos de Mersenne $M_p$ ?

Question

Recientemente se ha anunciado el descubrimiento de un nuevo primo de Mersenne:

https://www.mersenne.org/primes/press/M77232917.html

Estaba leyendo un poco sobre los primos de Mersenne, y me encontré con una conjetura de Lenstra-Pomerance-Wagstaff (LPW) en Wikipedia. En el artículo se dice que una consecuencia de la conjetura es que debería haber aproximadamente

$$e^\gamma \log(10)/\log(2) \sim 5.92$$

primos $p$ de un número determinado de cifras decimales tal que $2^p-1$ es primo. Cuando miro el $p$ de este tabla de los primos de Mersenne Obtengo los siguientes recuentos:

$$\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|c|c|} \hline 1 & 2& 3& 4& 5& 6& 7& 8& \text{Total}\\ \hline 4 & 6 & 4 & 8 & 6 & 5 & 5 & \color{blue}{12}? & 50\\ \hline \end{array} $$

Puse $12?$ ya que todavía podría haber $8$ -dígito $p$ para lo cual $M_p$ es primo. Así que mi pregunta es, ¿no es eso $12$ ¿fuera de lugar? ¿O es que la conjetura LPW espera grandes desviaciones de $5.92$ ?

Answer 1

( Demasiado largo para un comentario .)

Me preguntaba si el fenómeno era un artefacto de base- $10$ así que comprobé otras bases $b$ . Defina

$$L(b)= e^\gamma \log(b)/\log(2)$$

I. Base- $12$ y $L(12)\sim6.4$

$$4, 8, 3, 9, 7, 5, 8, \color{red}6$$

II. Base- $10$ y $L(10)\sim5.9$

$$4, 6, 4, 8, 6, 5, 5, \color{blue}{12}$$

III. Base- $8$ y $L(8)\sim5.3$

$$4, 5, 3, 6, 8, 5, 4, 4, \color{blue}{11}$$

IV. Base- $6$ y $L(6)\sim4.6$

$$3, 5, 4, 3, 5, 7, 4, 4, 3, \color{blue}{10}, 2$$

V. Base- $4$ y $L(4)\sim3.6$

$$2, 3, 4, 3, 2, 4, 5, 4, 4, 2, 4, 2, \color{blue}9, 2$$

No se ha comprobado si hay más $p$ entre $3.7\times10^7$ y $7.7\times10^7$ por lo que algunos de estos recuentos pueden cambiar.

El recuento en rojo de $8$ dígitos en base- $12$ sigue siendo incompleto . Dado que esto coincide aproximadamente con $10^7-10^9$ entonces $L(10)$ sugiere que habrá un total de $12$ $p$ en ese rango, más o menos. Si no, entonces este bonito patrón creciente se arruinará.

Answer 2

Primero, una actualización. Desde que se formuló la pregunta se ha descubierto otro primo de Mersenne, con $p=82,589,933$ que también tiene 8 dígitos. Así que la última cuenta ahora debería ser 13. No tenemos un buen error esperado en la desviación de la conjetura LPW, pero 13 en ese rango es ahora más del doble de lo esperado en ese rango. Esto parece extraño y probablemente no es lo que uno esperaría ingenuamente de la conjetura. Dos notas: en primer lugar, se trata sólo de un pequeño número de puntos de datos, por lo que una lectura excesiva puede no ser buena. En segundo lugar, estrictamente hablando, la conjetura LPW implica un resultado que dice aproximadamente que el número medio de tales $p$ es de alrededor de 5,92 en cualquier rango. Resulta que es consistente con LPW que uno tendrá algunos rangos de este tipo que tienen totales mucho más altos o mucho más bajos, y mi conjetura sería que de hecho el número de tales primos en un intervalo dado de $10^{m+1} - 10^m$ puede llegar a ser arbitrariamente grande si uno se aleja lo suficiente, y eso sigue siendo coherente con LPW. Pero ver un salto tan grande y tan rápido hace que la credibilidad en el LPW disminuya un poco.