divisibilidad para números como 13,17 y 19 - Método de compartimentación

Question

Para denominadores como 13, 17 a menudo veo a mi profesor utilizar un método para comprobar si un número dado es divisible o no. El método no es el siguiente : Por ejemplo, para 17 : restar 5 veces el último dígito del número original, el número resultante debe ser divisible por 17, etc...

El método es similar a la divisibilidad de 11. Él lo llama como método de compartimentación. Aquí va.

regla Para 17 :

tomar 8 dígitos a la vez(sol de dígitos en lugares Impares tomados 8 a la vez - suma de dígitos en lugares pares tomados 8 a la vez)

Por Ej : $9876543298765432..... 80$ dígitos - prueba si es divisible por 17 o no.

Habrá el mismo número de grupos (de 8 dígitos tomados a la vez) en impar y lugares pares. Por lo tanto, el número dado es divisible por 17-. Explicación .

El número 8 anterior difiere en función del denominador que esté considerando.

No soy capaz de entender ni el método ni la lógica. Por favor, acláremelo.

También para otros números como $13$ y $19$ ¿Cuál es el número de dígitos que debo tomar cada vez? En caso de que mi pregunta no sea clara, por favor hágamelo saber.

Answer 1

Citas dos normas diferentes con resultados diferentes. Al comprobar la divisibilidad por 17 restando 5 veces el último dígito de el número original sin la última cifra está utilizando el hecho de que $51$ es divisible por $17$ Así que $10a+b \equiv 10a-50b \pmod {17}$ entonces el hecho de que $10(a-5b)$ es múltiplo de $17$ sólo si $(a-5b)$ es. A menos que hagas más cálculos, pierdes el resto si el número original no es múltiplo.

Cuando se toman bloques de 8 dígitos, se utiliza el hecho de que $10^8+1 \equiv 0 \pmod {17}$ Así que $10^8a+b \equiv b-a \pmod {17}$ En este caso, usted se queda con el resto. Para 13, necesitas la mitad del período de su decimal repetido, que es 6, así que usas bloques de 3. Observa que $10^3+1=1001 \equiv 0 \pmod {13}$

Answer 2

Tu profesor está utilizando el hecho de que $100000001=10^8+1$ es divisible por $17$ . Dado por ejemplo su $80$ -se puede restar $98765432\cdot 100000001=9876543298765432$ que dejará ceros en el último $16$ lugares. Corta los ceros y repite. Después de $5$ veces te quedas con el número $0$ que es divisible por $17$ y, por tanto, su $80$ -también debe ser divisible por $17$ .

Al comprobar la divisibilidad por $17$ también puede restar múltiplos de $102=6\cdot 17$ de la misma manera.

Para la divisibilidad por $7$ , $11$ o $13$ se puede restar cualquier múltiplo del número $1001=7\cdot 11\cdot 13$ sin afectar a la divisibilidad por estos tres números. Por ejemplo, $6017-6\cdot 1001=11$ Así que $6017$ es divisible por $11$ pero no por $7$ o $13$ .

Para la divisibilidad por $19$ puede utilizar el número $1000000001=10^9+1=7\cdot 11\cdot 13\cdot 19\cdot 52579$ . Restando múltiplos de este número, te quedará un número de como máximo $9$ dígitos, cuya divisibilidad puede comprobarse mediante $19$ realizando la división.

Answer 3

Todo el proceso puede explicarse escribiendo

A^x/B = C donde C puede ser +1 o -1 o 0. Aquí C es el resto obtenido al dividir A^x por B.

Ahora operamos en base 10. Así que A toma un valor de 10. B es el divisor para el que se intenta establecer una regla. Este método se llama compartimentación. Se utiliza para para comprobar la divisibilidad / resto de los números como usted había dicho .. no para los números normales smal. Hay reglas mucho más eficaces para lo mismo.

Supongamos que se habla de divisibilidad por 9: Considera un número cualquiera de 2 cifras AB. Este puede ser representado en términos de valores der lugar como

AB = 10A+B = 9A+A+B.

Ahora si comprobaras la divisibilidad por 9.

[9A + (A+B)]/9. Entonces el primer término 9A es divisible. Ahora bien, para que el número entero sea divisible, es necesario que los términos (A+B) también lo sean. Por tanto, la divisibilidad del número depende de (A+B) que no es más que la suma de dígitos. Por eso se ve que regla de divisibilidad para 9 es "La suma de dígitos del número debe ser divisible por 9" También tienes que tener en cuenta que 10^x/9 = +1 para cualquiera que sea el valor de x. Esto resulta en otra regla: 10^x/3 = +1 que es la regla de divisibilidad por 3.

Ahora considere la REGLA PARA 7 A^x/B= C

Aquí A=10 (base 10), B = 7. Ahora tenemos que elegir valores para x tales que dé un resto de C= +1 ó -1.

vemos el siguiente patrón: 10^0/7 = +1

10^3/7 = -1

10^6/7 = +1

Así vemos que los restos +1 y -1 se alternan cada tres potencias de diez. Esto nos da nuestra regla de compartimentación. El número dado de izquierda a derecha tiene que agruparse de tres en tres y hay que aplicar la regla de +1 y -1 para cada triplete. Lo verás :

ABCPQRXYZ sea un número. Para comprobar la divisibilidad por 7, lo escribimos como:

[10^6 ABC]/7 + [10^3 PQR]/7 + [10^0 XYZ]/7

Ahora 10^6/7=+1 , 10^3/7 = -1 y así sucesivamente.. Esto se reduce a

(1xABC) (-1XPQR) (1*XYZ)

REGLA : Suma de tresillos en lugares Impares - suma de tresillos en lugares pares

ej: 100200140240 /7 . ¿Cuál sería el resto?

100 | 200 | 140 | 240 |

-1 | +1 | -1 | +1

• 100- 140 = -240

200 + 240 = 440

Obtienes 440-240 = 200

200/7 da un R= 4

Ahora considere la REGLA PARA 11 10^0 / 11 = +1 10^1/ 11 = -1 10^2/ 11 = +1 10^3/11 = - 1

Para el 11, puedes hacerlo de 2 maneras. Una es que notes que cada potencia alterna de 10 dividida por 11 da un patrón alterno de +1 y -1. Así que la compartimentación ahora será para cada dígito. Así que haces un

Suma de dígitos en lugares Impares - Suma de dígitos en lugares pares.

Pero si notaste el hecho de que 10^0/11 = +1 y 10^3/11 = -1 Entonces te darás cuenta de que 11, igual que 7, tiene +1 y -1 alternando para los tripletes. Por lo tanto, se puede proceder a compartimentar el número en tripletes y hacer lo mismo como hicimos para el 7.

Suma de triples en lugares Impares - Suma de triples en lugares pares.

Así que vemos que hasta ahora : 1. 10^x / B = +1 se mantendrá bien para tres casos supongo (no estoy seguro de que puede ser más ... ) Son 3, 9 , 37.

Incluso 10^3/37 = +1 . Así que aquí no hay alternativa +1 y -1 como 10^6/37 también será +1. Tenga en cuenta que (a^m)^n = a^mn

**Regla para 37 sería : Agrupar el número en tripletes y aplicar un +1 a cada triplete.

1. 10^x / B = +1 o -1 valdrá para 7, 11, 17 Regla para 17 (así) : 10^8/17 = -1. Entonces, 10^16/17 sería +1. Así que se vuelve como (Suma de dígitos en lugares Impares tomados 8 a la vez - suma de dígitos en lugares pares tomados 8 a la vez. )**

   3. También 10^x/B = 0 (da un resto de 0 )cuando B son potencias de 2 o potencias de 5.

Todavía no sé si es posible cubrir todos los primos (al menos 2 dígitos) con este método. Quizás tengas que usar otras técnicas como el Teorema Chino del Resto o el Teorema Básico del Resto, etc Eso es porque todavía no veo ningún patrón para 23 y muchos más números. Si alguien puede añadir algo más a esto .. sería genial.

Espero que este post le ayude.

Salud :)

Answer 4

Lo mismo puede decirse de la divisibilidad por $13$

$10^3/13$ da un resto de $-1$
$10^6/13$ gievs un remanente de $+1$

Así que de nuevo la regla para $13$ será la misma que la regla para $7, 11$ . Agrupa los números en tripletas según veamos cambios alternativos de $-1$ a $+1$ entre cada tres potencias de $10$ . Así que la regla para $13$ también se

(Suma de tresillos en lugares Impares - Suma de tresillos en lugares pares) o Suma de dígitos en lugares Impares tomados $3$ a la vez - Suma de dígitos en lugares pares tomados de tres en tres)

Como ya he dicho, todo esto puede resumirse en:

$10^x/B = +1$ es válida para divisores (valores de B) como $3,9, 37$

$10^x/B = -1$ y $+1$ para divisiores (valores de B) como $7, 11, 13, 17$

$10^x/B = 0$ para divisores (valores de B) como potencias de $2$ y $5$

donde $+1,0,-1$ son los restos de las respectivas divisiones