Soluciones de dependiente del problema de Sturm-Liouville en valor propio como parámetro

Question

Que $\;y_1\left(x,\,\lambda\right),\: y2\left(x,\,\lambda\right)\;$ ser respectivas soluciones de valor propio problema $$\begin{align}y\,'' &= \lambda \,y, & x&\in\big(\,0,\,\infty\,\big),&\lambda&\in\mathbb{C}\end{align}$$ con condiciones de contorno\begin{align} &\begin{cases} y{1}\big(0,\,\lambda\big)=1\y{1}'\big(0,\,\lambda\big)=0\end{casos} & \text {y} & &\begin{cases} y{2}\big(0,\,\lambda\big)=0\y_{2}'\big(0,\,\lambda\big)=1\end{casos} \end{align}

Necesito encontrar una función $\,m\left(\lambda\right)\,$ tal que la función\begin{align} \psi\big(x,\,\lambda\big) = y{2}\big(x,\,\lambda\big) + m\left(\lambda\right)\, y{1}\big(x,\,\lambda\big) \end {Alinee el} se encuentra en $\;L^{2}_{\left(0,\infty\right)}$.

El problema surgió en el contexto de las soluciones de Sturm-Liouville eigenproblems depende de valor propio como parámetro. No tienen idea cómo alcanzarla y apreciar cualquier asesoramiento pertinente.

Answer 1

Las soluciones son $$y_1(x,\lambda) = \cosh(\sqrt{\lambda}x), \;\;\; y_2(x,\lambda) = \frac{\sinh(\sqrt{\lambda}x)}{\sqrt{\lambda}},$$ donde $\sqrt{\lambda}$ sucursal de corte a lo largo del eje real negativo. El uso de esta particular rama de corte asegura que $\Re\sqrt{\lambda} > 0$$\mathbb{C}\setminus(-\infty,0]$. A continuación, $e^{\sqrt{\lambda}x} \notin L^2[0,\infty)$ $e^{-\sqrt{\lambda}x} \in L^2[0,\infty)$ $\lambda\in\mathbb{C}\setminus(-\infty,0]$ por lo Tanto, la única $m(\lambda)$ para los que $$y_2 + my_1 \en L^2[0,\infty), \;\;\; \lambda\in\mathbb{C}\setminus(-\infty,0],$$ debe elegirse de modo que el $e^{\sqrt{\lambda}x}$ término está ausente. Por lo tanto, $$\frac{1}{2\sqrt{\lambda}}+\frac{1}{2}m(\lambda) = 0 \\ \implica m = -1/\sqrt{\lambda}.$$ Nota: es más común considerar que el operador con coeficiente negativo de $y''$ a la izquierda. La razón de la rama a lo largo del eje real negativo es que el espectro de su operador es el eje real negativo. Normalmente se trata de organizar el espectro infinito en la dirección positiva en su lugar, el cual está organizado por considerar $Lf=-(pf')'+qf$ en lugar de $Lf=(pf')'-qf$.

Answer 2

Keith es correcto. para cualquier % dado $\lambda > 0$, que $a^2 = \lambda$. $y_1 = \cosh ax$ Y $y_2 = \sinh ax$. Para cualquier % dado $\lambda

Si $\lambda > 0$, $y_2 + my1 = e^x\frac{m+1}{2} + e^{-x}\frac{m - 1}{2}$, que se encuentra en$L^2{(0,\infty)}$sólo cuando$m = -1$.

Si $\lambda \le 0$, para todos los $m,\ y_2 + my1 \notin L^2{(0,\infty)}$