La función de Möbius es la suma de las primitivas $n$ a raíz de la unidad.

Question

¿Sabías que la función de Möbius $\mu$ es la suma de las raíces primitivas enésimas de la unidad? Quiero saber el significado de esto.

Esta afirmación se expresa como, $$\mu(n) = \sum_{\substack{k=1 \\ (k,n)=1}}^n \exp\left(\frac{2\pi ik}{n}\right).$$

Answer 1

Es cierto que la función de Möbius $\mu(n)$ es la suma de las primitivas $n$ a raíz de la unidad.

Tal vez la forma más fácil de ver esto es escribir $$ \sum_{(k, n) = 1} e^{2\pi i k / n} = \sum_{k = 1}^n \sum_{d \mid (k,n)} \mu(d) e^{2 \pi i k / n} = \sum_{d \mid n} \mu(d) \sum_{\ell = 1}^{n/d} e^{2 \pi i d \ell / n}.$$ Obtenemos la primera igualdad utilizando la propiedad $$ \sum_{d \mid n} \mu(d) = \begin{cases} 1 & \text{ if } n = 1 \\ 0 & \text{ else } \end{cases},$$ y obtenemos la segunda igualdad intercambiando los órdenes de suma. En la expresión final, el sumatorio interno es una suma de todos los $(n/d)$ raíces de la unidad, y por lo tanto es cero excepto en el caso de que sea trivial, lo que ocurre cuando $d = n$ . Así que el único término que sobrevive es $\mu(n)$ y hemos mostrado $$ \sum_{(k,n) = 1} e^{2 \pi i k / n} = \mu(n),$$ como querías mostrar. $\diamondsuit$

Answer 2

Un enfoque ligeramente diferente es el siguiente: introducir

$$\alpha(n) = \sum_{k=1,\; (k,n)=1}^n \exp(2\pi i k/n).$$

Entonces tenemos

$$\sum_{k=1}^n \exp(2\pi i k/n) = [[n=1]] = \sum_{d|n} \sum_{(k,n)=d} \exp(2\pi i k/n) \\ = \sum_{d|n} \sum_{(k/d,n/d)=1} \exp(2\pi i (k/d)/(n/d)) = \sum_{d|n} \alpha(n/d).$$

Ahora, a partir de la relación

$$\sum_{d|n} \alpha(n/d) = [[n=1]]$$

podemos concluir que $\alpha(n) = \mu(n)$ mediante una inspección.

Si esto no es suficiente, utilice la inversión de Mobius para obtener

$$\alpha(n) = \sum_{d|n} \mu(d) [[n/d=1]] = \mu(n).$$