Esta es una forma "sencilla en principio" pero quizá "prolija en la práctica" de demostrarlo.
Supongamos un triángulo agudo con lados de longitud $a$ , $b$ y $c$ , donde $a \ge b \ge c$ y con ángulos $A$ , $B$ y $C$ (véase la figura siguiente). Denotemos la altura desde el vértice con el ángulo $A$ como $h_A$ la altura desde el vértice con ángulo $B$ como $h_B$ etc.
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Contención los segmentos de longitud $a$ , $b$ y $h_C$ siempre puede formar un triángulo y los segmentos de longitud $c$ , $h_A$ y $h_B$ siempre puede hacer un triángulo.
Prueba
Se harán algunas deducciones iniciales y luego, utilizando los resultados de estas deducciones y la desigualdad del triángulo, se hará la demostración final en la sección $4$ abajo.
$1$ . Fórmulas para las alturas
El área del triángulo se puede encontrar como
$Area = \frac{1}{2}ab\,sin(C) =\frac{1}{2}ac\,sin(B) =\frac{1}{2}bc\,sin(A)$
o como
$Area = \frac{1}{2}a\,h_A =\frac{1}{2}b\,h_B = \frac{1}{2}c\,h_C$
dando
$h_A = b\,sin(C) = c\,sin(B)$
$h_B = a\,sin(C) = c\,sin(A)$
$h_C = a\,sin(B) = b\,sin(A)$
$2$ . Límites de los ángulos
Para cualquier triángulo en el que las longitudes de los lados estén ordenadas como $a \ge b \ge c$ , el ángulo asociado opuesto a cada lado se ordenará igualmente como $A \ge B \ge C$ (puede demostrarse utilizando la ley de los senos).
Para un triángulo agudo en el que todos los ángulos son menores que $90^{\circ}$ se pueden deducir los siguientes límites de los ángulos:
max( $A$ ) $\lt 90^{\circ}$ y min( $A$ ) $= 60^{\circ}$
max( $B$ ) $\lt 90^{\circ}$ y min( $B$ ) $\gt 45^{\circ}$
max( $C$ ) $= 60^{\circ}$ y min( $C$ ) $\gt 0^{\circ}$
Como ejemplo, veamos el ángulo $B$ . Para el máximo, vemos que el ángulo $B$ puede ser como máximo igual al ángulo $A$ y el ángulo $A$ puede ser, como máximo, algo inferior a $90^{\circ}$ . Como la suma de los $3$ los ángulos deben ser $= 180^{\circ}$ , habiendo $2$ ángulos justo por debajo de $90^{\circ}$ vamos a angular $C$ ser un poco más de $0^{\circ}$ , lo cual está bien. Para el mínimo, los ángulos $A$ y $C$ debe ser lo más grande posible. Ángulo $A$ puede ser, como máximo, algo inferior a $90^{\circ}$ , dejando los ángulos $B$ y $C$ para compartir algo más de $90^{\circ}$ . Dividiendo en partes iguales, el ángulo $B$ debe ser como mínimo $45^{\circ}$ .
$3$ . Límites para las alturas
Utilizando las fórmulas para las alturas que se encuentran en la sección $1$ y los valores máximos y mínimos de los ángulos encontrados en la sección $2$ y el hecho de que
Sin $(0^{\circ}) = 0$
Sin $(45^{\circ}) = \frac{1}{\sqrt 2}$
Sin $(60^{\circ}) = \frac{\sqrt 3}{2}$
Sin $(90^{\circ}) = 1$
podemos deducir los siguientes límites de las alturas: $$h_A:\quad c \gt h_A \gt \frac{c}{\sqrt 2} \quad , \quad \frac{\sqrt 3}{2}b \gt h_A \gt 0$$ $$h_B:\quad c \gt h_B \gt \frac{\sqrt 3}{2}c \quad , \quad \frac{\sqrt 3}{2}a \gt h_B \gt 0$$ $$h_C:\quad a \gt h_C \gt \frac{a}{\sqrt 2} \quad , \quad b \gt h_C \gt \frac{\sqrt 3}{2}b$$
Como ejemplo, veamos $h_C$ . Sabemos que $$h_C = a\,sin(B)$$
Introduciendo el valor máximo de $B$ (max( $B$ ) $\lt 90^{\circ}$ ) encontramos que $$h_C \lt a$$
Introduciendo el valor mínimo de $B$ (min( $B$ ) $\gt 45^{\circ}$ ) encontramos que $$h_C \gt \frac{a}{\sqrt 2} $$ Estas dos desigualdades combinadas dan la primera desigualdad para $h_C$ dado anteriormente. La segunda desigualdad para $h_C$ se encuentra utilizando la fórmula $h_C = b\,sin(A)$ y se introducen los valores mínimos y máximos de $A$ . Lo mismo ocurre con el resto.
$4$ . Utilizando la desigualdad del triángulo para demostrar la contención
El argumento era que "los segmentos de longitud $a$ , $b$ y $h_C$ siempre puede formar un triángulo y los segmentos de longitud $c$ , $h_A$ y $h_B$ siempre puede formar un triángulo". Ambas partes de esta afirmación se demostrarán utilizando la desigualdad del triángulo.
Primera parte
Los segmentos de longitud $a$ , $b$ y $h_C$ siempre puede formar un triángulo si se cumple lo siguiente $$a+b \gt h_C \quad \land \quad a+h_C \gt b \quad \land \quad b+h_C \gt a$$
$4a. \;$ Demostrando que $\; a+b \gt h_C$
Sabemos por la sección $3$ de la prueba que $a \gt h_C$ y $b \gt h_C$ y por lo tanto $$a+b \gt h_C$$
$4b. \;$ Demostrando que $\; a+h_C \gt b$
Sabemos por los supuestos iniciales que $a \ge b$ y sabemos que $h_C \gt 0$ y por lo tanto $$a+h_C \gt b$$
$4c. \;$ Demostrando que $\; b+h_C \gt a$
La desigualdad del triángulo debe cumplirse para nuestro triángulo dado y, por tanto, debe ser cierto que $b+c \gt a$ . A partir de los supuestos iniciales sabemos que $b \ge c$ . Por lo tanto, $$b+c \gt a$$ $$=> \; b+b \gt a$$ $$=> \; b \gt \frac{a}{2}$$
De la sección $3$ también sabemos que $$h_C \gt \frac{a}{\sqrt 2}$$ $$=> \; b+h_C \gt \frac{a}{2}+\frac{a}{\sqrt 2}$$ $$=> \; b+h_C \gt a$$
La primera parte del argumento ha quedado así demostrada.
Segunda parte
Los segmentos de longitud $c$ , $h_A$ y $h_B$ siempre puede formar un triángulo si se cumple lo siguiente $$c+h_A \gt h_B \quad \land \quad c+h_B \gt h_A \quad \land \quad h_A+h_B \gt c$$
$4d. \;$ Demostrando que $\; c+h_A \gt h_B$
Sabemos por la sección $3$ de la prueba que $c \gt h_B$ y sabemos que $h_A \gt 0$ y por lo tanto $$c+h_A \gt h_B$$
$4e. \;$ Demostrando que $\; c+h_B \gt h_A$
Sabemos por la sección $3$ de la prueba que $c \gt h_A$ y por lo tanto $$c+h_B \gt h_A$$
$4f. \;$ Demostrando que $\; h_A+h_B \gt c$
De la sección $3$ de la prueba sabemos que $h_A \gt \frac{c}{\sqrt 2}$ . También sabemos que $h_B \gt \frac{\sqrt 3}{2}c$ . Esto significa que $$h_A + h_B \gt \frac{c}{\sqrt 2}+ \frac{\sqrt 3}{2}c$$ $$=> h_A + h_B \gt c$$
La segunda parte del argumento ha quedado así demostrada. Como las dos partes de la contención ya han sido demostradas:
QED
