Es bien sabido que la proporción de la circunferencia de un círculo a su diámetro en la geometría euclidiana es la constante $\pi$. También comprendo que en el caso de la geometría no euclidiana esta proporción en general no es constante.
Lo que me gustaría saber es si $d=2r$ es válida en estas geometrías no euclidianas. Para los propósitos de esta pregunta, un círculo se define como el conjunto de puntos con una distancia constante (el radio) a un punto dado, para cualquier métrica, y el diámetro como la longitud de la mayor distancia entre dos puntos en este círculo. En particular, me interesa en geometrías con curvatura no constante.
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Esto es aproximadamente cierto para un radio muy pequeño, y la discrepancia está relacionada con la curvatura en el centro del círculo.
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La desigualdad del triángulo es verdadera en geometrías no-e por lo que d <= 2r. Pero ¿siempre es cierto que para puntos colineales x, y, z, d(x,z) = d(x,y) + d(y, z)? (No estoy seguro) Si es así entonces d = 2r simplemente significa que el centro es colineal con dos puntos de un círculo. (Creo que esto es cierto para la geometría esférica pero me pregunto si para la geometría hiperbólica la desigualdad del triángulo es una estricta desigualdad y, en ese caso, el diámetro siempre es menor que el doble del radio).
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@fleablood: depende de lo que quieras decir con colineal. De hecho, puedes tomar esa condición como la definición de colinealidad en un espacio métrico. En una variedad de Riemann también puedes intentar definir colinealidad en términos de geodésicas.
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Pero ¿hay espacios métricos donde para cualquier tres puntos distintos d(x,z) < d(x,y) + d(y,z) es estrictamente desigual. En tales espacios, d < 2r y nunca es igual. De lo contrario (como en hiperbólico y esférico) d = 2r.