¿Cómo se define, en tres dimensiones, la línea tangente en el caso $f'(x)=0$ ?

Question

Dejemos que $f:(a\,..b)\rightarrow \mathbb R^3$ . Sea $f$ sea diferenciable en $(a\,..b)$ , donde $f'(x)=\big(f_x'(x),f_y'(x),f_z'(x)\big)$ . Sea $0$ significa el vector cero.

Primero, sabemos que la línea debe pasar por $f(x_0)$ . En segundo lugar, también debe pasar por $f(x_0)+f'(x_0)$ .

El caso es fácil cuando los puntos son desiguales, es decir, $f(x_0)\neq f'(x_0)+f(x_0)$ . En esta situación, podemos utilizar la popular ecuación de una recta que pasa por dos puntos diferentes $\alpha$ y $\beta$ : $l(x)=x \alpha +(1-x) \beta$ que aquí se convierte en $t(x)=x(f(x_0)+f'(x_0))+(1-x)f(x_0)$ . La definición de una tangente no plantea ningún problema en este caso.

Sin embargo, lo que ocurre con el caso $f'(x_0)=0$ ? Aquí la ecuación anterior se vuelve inútil - $f(x_0)+f'(x_0)=f(x_0)$ y por lo tanto no podemos utilizar la fórmula para definir una tangente a $f(x_0)$ .

La línea tangente existe intuitivamente en al menos algunos de estos casos - por ejemplo, si tomamos cada una de las componentes de $f(x_0)$ sea un máximo local, entonces $f'(x_0)=0$ y sin embargo sabemos intuitivamente que una línea tangente a $f(x_0)$ .

Entonces, ¿cómo definir esa línea en este caso?

Answer 1

Si un camino suave $f$ satisface $f'(x_{0}) = 0$ para algunos $x_{0}$ , allí puede existe una línea tangente a la imagen, pero hay no es necesario existe una línea tangente:

• El camino suave $f(x) = (x^{3}, 0, 0)$ rastrea el $x$ -que tiene una línea tangente en $0$ pero $f'(0) = 0$ .

• El camino suave $f(x) = (\cos^{3} x, \sin^{3} x, 0)$ traza un curva astroide que no tiene una línea tangente en cada cúspide (es decir, cuando $x$ es un múltiplo entero de $\pi/2$ ).

Por eso, en la geometría diferencial, uno no se centra en suave (diferenciable hasta cierto punto), pero en regular (suaves y con derivada no evanescente).

Puede ser útil observar que un gráfico $y = g(x)$ puede ser parametrizado por $f(x) = (x, g(x))$ . Si $g$ es suave, entonces $f'(x) = (1, g'(x))$ Así que $f$ es regular siempre que $g$ es suave. Este es probablemente el origen de tu intuición de que "toda trayectoria suave tiene una línea tangente".

Answer 2

Yo diría que no es apropiado definir la línea tangente de una curva definida por alguna función tridimensional arbitraria arbitraria $f(t) = (f_x(t), f_y(t), f_z(t))$ en $f(t_0)$ como la línea que pasa por los puntos $f(t_0)$ y $f(t_0) + f'(t_0).$ Creo que es cierto que cuando existe una línea tangente en $f(t_0)$ y la derivado $f'(t_0)$ también existe, entonces la línea tangente pasa por $f(t_0) + f'(t_0).$

Si sucede que $f'(t_0) \neq 0,$ entonces esta relación nos permite identificar la línea tangente en $f(t).$ Pero consideremos la curva definida por $$ f(t) = \left(\cos\left(\frac\pi2 t^3\right), \sin\left(\frac\pi2 t^3\right), 0\right) $$ para $t \in [-1,1].$ Esto es un semicírculo a través de $(0,-1,0),$ $(1,0,0),$ y $(0,1,0),$ trazado una vez en la dirección de $(0,-1,0)$ a $(0,1,0),$ y claramente tiene una tangente en $(1,0,0)$ aunque $f'(0) = (0,0,0).$

Puedes resolver problemas como éste definiendo la tangente con más cuidado. Véase "La definición de una tangente a una curva" por T. M. Flett por ejemplo, que menciona que

Hay que destacar que no existe ninguna correlación entre el existencia de tangentes (continuas) y la existencia de derivadas (continuas).

Una resolución del problema sería hacer la tangente en $f(t_0)$ un límite de las líneas secantes que pasan por puntos de la curva en la vecindad de $f(t_0).$ Pero hay que tener cuidado con la definición de ese límite.

Una resolución más rápida del problema sería requerir que la tangente se defina siempre en relación con una parametrización de la curva por una función $f$ tal que $f' \neq 0.$ Esto te lleva a mirar los "caminos regulares" tal y como se definen en la respuesta de Andrew D. Hwang.

Answer 3

Tal vez la línea se va en una dirección diferente, por ejemplo (t2,t2,t|t|) llega por (1,1,1) y se va por (1,1,-1).

Si las funciones son suaves, se pueden tomar series de Taylor, y utilizar el orden principal que implica $t$ Así que $(2+t^2+t^3,1+2t^2-t^3,3+6t^2)$ tiene tangente en dirección $(1,2,6)$

Se puede volver a parametrizar, por lo que en el caso anterior, dejemos $t=\sqrt{u}$ y, al menos para los positivos $t$ el orden principal es $(2+u,1+2u,3+6u)$

Answer 4

La derivada que has definido es un vector (por supuesto). Te indica tanto la dirección como la velocidad (la longitud de la derivada) del movimiento a lo largo de la curva como el parámetro $x$ aumenta. Puede ocurrir que la velocidad sea (momentáneamente) $0$ - pero eso puede depender de la parametrización. Si se sustituye $x$ por alguna función suave monótona creciente de $x$ cambiará las velocidades pero no las direcciones de los vectores tangentes. Es habitual elegir una parametrización que nunca tenga velocidad $0$ . El parámetro natural es la arclitud de la curva. Puede que no sea fácil de calcular en un ejemplo concreto (la integral puede ser fea), pero tiene el mayor sentido geométrico.