$d(x,A)=0 \iff $ cada barrio de $X$ contiene un punto de $A$

Question

Mendelson, Introducción a la topología , p.52

$(8)$ . Deje que $A$ ser un subconjunto no vacío de un espacio métrico $(X,d)$ . Deje que $x \in X$ . Demuestra que $d(x,A)=0$ si, y sólo si, cada vecindario $V$ de $x$ contiene un punto de $A$ .

DEFINICIÓN Dado un subconjunto $A$ de un espacio métrico $X$ y $x \in X$ la distancia de $x$ a $A$ se define como:

$$d(x,A)= \inf\ {d(x,a):a \in A\}$$

COROLARIO 5.9 Deje que $(X,d)$ ser un espacio métrico, $a \in X$ y $A$ un subconjunto no vacío de $X$ . Entonces hay una secuencia $\{a_n\}$ de puntos de $A$ de tal manera que $ \lim \; d(a,a_n)=d(a,A)$

PRUEBA

$( \Rightarrow )$ Supongamos que cada barrio de $x$ contiene un punto de $A$ . Debemos probar que $ \inf\ {d(x,a):a \in A\}=0$ Pero como cada barrio de $x$ contiene un punto de $A$ entonces hay una secuencia de puntos $\{a_n\}$ de $A$ de tal manera que $ \lim \;a_n=x$ . De ello se deduce que $ \lim \; d(x,a_n)=0$ y desde que $\{a_n\} \subset A$ , $ \inf\ {d(x,a):a \in A\}=0$ desde $d(x,a) \geq 0$ para cualquier $a,x$ .

$( \Leftarrow )$ Supongamos que $d(x,A)=0$ . A continuación 5.9 que hay una secuencia de puntos $\{a_n\}$ en $A$ de tal manera que $ \lim \; d(x,a_n)=0$ . Pero dado un punto $a \in X$ la función $f:X \to \Bbb R\;/\;f(x)=d(x,a)$ es continua (sólo toma $ \epsilon = \delta $ ). Así, $ \lim \; d(x,a_n)= d(x, \lim \;a_n)=0$ . Pero $d(x,a)=0 \iff x=a$ así que $ \lim \;a_n=x$ . Esto significa que para cualquier vecindario $V$ de $x$ existe un $N$ de tal manera que $a_n \in V$ siempre que $n>N$ así que cada vecindario de $x$ contiene algunos $a \in A$ .

¿Esto está bien? ¿Hay algún hueco o circularidad que me falta?

Answer 1

Puedes conseguir una prueba más limpia si evitas las secuencias por completo:

Supongamos que cada vecindad de $x$ contiene un punto de $A$ . Obviamente, $d(x,A)\geq 0$ . Ahora dejemos que $\epsilon>0$ . Entonces existe por suposición $a\in A$ con $d(x,a)<\epsilon$ . Desde $\epsilon$ era arbitraria, $d(x,A)=0$ .

Supongamos que $d(x,A)=0$ . Sea $\epsilon>0$ . Por supuesto, hay $a\in A$ con $d(x,a)<\epsilon$ . Por lo tanto, toda persona abierta $\epsilon$ -bola alrededor de $x$ contienen un elemento de $A$ . Dado que cada vecindad de $x$ es un superconjunto de dicha bola, hemos terminado.

Los aficionados podrían notar que se evita tener que hacer elecciones arbitrarias en la prueba sin secuencia.

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Editar: En su propia prueba. La prueba original es correcta excepto por su argumento de que $\lim d(x,a_n)=0$ implica $\lim a_n=x$ . El resultado es cierto, pero hay un sutil fallo en el argumento. Parece que se utiliza la caracterización de la secuencia de la continuidad allí, por lo que $f$ es continua en $y$ si $f(y_n)$ converge a $f(y)$ siempre que $y_n$ converge a $y$ . Para aplicarlo en tu caso, tienes que suponer que la secuencia $(a_n)$ es convergente. Lo es, pero eso es algo que tienes que demostrar primero.

Answer 2

Su prueba está perfectamente bien.

Básicamente, ha demostrado $d(x,A)=0$ si $x\in \overline{A}$ (es decir, cada vecindad de $x$ se encuentra con $A$ ), utilizando la equivalencia intermedia entre $x\in \overline{A}$ y la existencia de $a_n\in A$ con $a_n\to x$ .

Como he mencionado en los comentarios, no es necesario introducir su función $f$ ya que $d(x,a_n)\to 0$ equivale a $\lim a_n=x$ . Dependiendo de su definición, esto es una tautología o una trivialidad. En cualquier caso, no entiendo las objeciones en los comentarios sobre $\lim a_n$ que podría no existir... por supuesto que sí, ya que $d(x,a_n)\to 0$ ...