¿Cómo se calcula el valor esperado de la mezcla de distribución logarítmico-normal?

Question

Supongamos $X=\log(Y)$ puede ser modelado por una mezcla de dos distribuciones normales con proporción $p$ $X_1$ y la proporción de la $1-p$ $X_2$ donde$X_1\sim\mathcal N(U_1, \sigma^2_1)$$X_2\sim\mathcal N(U_2, \sigma^2_2)$.

¿Cómo se calcula el $E(Y)$; es decir, $E(\exp(X))$ donde $X$ es una mezcla de dos normales?

Answer 1

Por ejemplo, si usted está tratando con una de dos componentes de la mezcla, el primer momento se calcula como sigue: $\mu_{\rm mixture}=\pi_{1} \cdot \mu_{1} + \pi_{2} \cdot \mu_{2}$, donde $\pi_{i}\ (i=1,2)$ representa los componentes de pesos y $\mu_{i}\ (i=1,2)$ para los medios.

Answer 2

Voy a tratar de dar una respuesta a la mezcla de caso. Vamos a formalizar el set-up. Consideramos una variable aleatoria $X$ y un indicador de la variable aleatoria $I$,$P[I=1] = 1-P[I=2] = p$, independiente de $X$. Además, para la mezcla, tenemos que la ley de $X$ que $I=1$ es la ley de la $X_1$, que es Gaussiano con media de $U_1$ y la varianza $\sigma^2_1$; y, si $I=2$, la ley es la de la $X_2$ ley $N(U_2,\sigma^2_2)$.

Entonces, para $Y=\exp(X)$ podemos calcular la expectativa de como $$ \begin{align} E[Y] &= E[\exp(X)] = p E[\exp(X)|I=1] + (1-p) E[\exp(X)|I=2] \\ &= p E[\exp(X_1)] + (1-p) E[\exp(X_2)] \\ &= p \exp(U_1+ \sigma^2_1/2) + (1-p) \exp(U_2+ \sigma^2_2/2) \end{align} $$ mediante el uso de la expectativa de una log-normal.