Puede alguien dar un ejemplo que muestra el fracaso de Luroth del teorema de trascendencia grado 3 $\mathbb{C}$
Respuesta
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En términos geométricos:
Una compleja variedad $V$ de la dimensión de $n$ es racional si existe un birational mapa de $\mathbb P^n --\to V $ o, de manera equivalente, si su campo de función es puramente trascendental, es decir, existe un campo de isomorfismo $Rat (V)\cong \mathbb C(t_1,\cdots, t_n)$ .
Más generalmente, $V$ se llama unirational si existe un racional surjective mapa de $\mathbb P^N --\to V $ o, de manera equivalente, si su función de campo es un subcampo de la puramente trascendental campo es decir, existe un campo de incrustación $Rat (V) \subset \mathbb C(t_1,\cdots, t_N)$ .
El Lüroth problema por lo tanto será resuelto negativamente si se puede probar que existe una unirational variedad que no es racional.
Para la dimensión $\geq 3$ la existencia de una variedad fue demostrado en 1971 por tres equipos de matemáticos, utilizando diferentes ideas : Artin-Mumford, Clemens-Griffiths y Iskovskikh-Manin.
En conclusión, no es cierto que un campo de ampliación $\mathbb C\subset K$ de la trascendencia de grado tres más de $\mathbb C$ que es un subcampo $K\subset \mathbb C(t_1,\cdots,t_N)$ puramente trascendental extensión necesariamente debe ser isomorfo a un hecho puramente trascendental extensión de $\mathbb C(u_1,u_2,u_3)$.
[Para la trascendencia grados uno o dos sin embargo es cierto]
