Cociente de $\mathbb{Z}_p$ por los racionales enteros

Question

Deje $p$ ser una de las primeras y deje $\mathbb{Z}_p$ el valor del $p$-ádico enteros. Uno tiene una canónica de la inclusión de los anillos $$\mathbb{Z}_{(p)}\longrightarrow\mathbb{Z}_p$$ given by identifying the rational integers in $\mathbb{Z}_p$.

¿Cuál es el cociente de grupo $\mathbb{Z}_p/\mathbb{Z}_{(p)}$?

Se sugirió que, para mí, sin pruebas, que el cociente es un $\mathbb{Q}$-espacio vectorial (de multitud de rango). He estado tratando de verificar esto en detalle.

Mi planteamiento era el siguiente:

1. Demostrar que el cociente es $p$-divisible
2. Demostrar que el cociente es libre de torsión

Para entonces el cociente es de torsión libre y divisible, y el resultado de la siguiente manera.

Sin embargo, yo no puede ni probar 1, ni el 2, mi conocimiento de la $p$-ádico números enteros es un poco débil. ¿Cómo podría yo demostrar estas afirmaciones, o debo intentar otro enfoque?

Answer 1

El método funciona, y termina siendo de primaria.

En primer lugar: para un grupo abelian $A$, uno ha $A\otimes \mathbb{Z}/p\mathbb{Z}=A/pA$. Por lo tanto $p$-divisibilidad es equivalente al producto tensor con $\mathbb{Z}/p\mathbb{Z}$ fuga.

En nuestro caso, contamos $$\frac{\mathbb{Z}_p}{\mathbb{Z}_{(p)}}\otimes \frac{\mathbb{Z}}{p\mathbb{Z}}\cong \frac{\mathbb{Z}_p}{\mathbb{Z}_{(p)}+p\mathbb{Z}_p},$$ pero este último cociente es $0$, ya que cualquier $\gamma\in\mathbb{Z}_p$ puede ser escrito como

$$\gamma=a_0+p\sum_{i\geq1}a_ip^{i-1}\in \mathbb{Z}_{(p)}+p\mathbb{Z}_p.$$

Para ver por qué el cociente es de torsión libre, supongamos que $\gamma\in\mathbb{Z}_p$$n\gamma\in\mathbb{Z}_{(p)}$. Si $p\!\!\not|\;n$ $\frac1n$ existe y $\gamma\in\mathbb{Z}_{(p)}$. Así podremos reducir, para el caso de que $n=p$. Escribir $$p\gamma=\frac km$$ for $p\!\!\no|\;m$. Ahora si $p$ divide $k$, hemos terminado. Si no, tenemos que $p\gamma$ es una unidad, lo cual es imposible.