$\sum_{n=1}^{\infty }\left(\frac{2n+5}{7n+6}\right)^{n\log(n+1)} $ converge o diverge?

Question

Estoy tratando de determinar si esta serie converge o diverge: $\sum_{n=1}^{\infty }\left(\frac{2n+5}{7n+6}\right)^{n\log(n+1)}$.

Aquí está mi solución: me llama: $a_{n}=\left(\frac{2n+5}{7n+6}\right)^{n\log(n+1)}$. Entonces, he utilizado la raíz de la prueba de la siguiente manera: $\lim_{n \to \infty }\left | a_{n} \right |^{\frac{1}{n}}=\lim_{n \to \infty}\left(\frac{2n+5}{7n+6}\right)^{\log(n+1)}$. Entonces llamé a $x_{n}=(\frac{2n+5}{7n+6})^{\log(n+1)}$, en Lugar de computación $\lim_{n \to \infty}x_{n}$, yo calcula primero $$\lim_{n \to \infty}\log(x_{n})=\lim_{n \to \infty}\log(n)\log\left(\frac{2n+5}{7n+6}\right)=\log(\frac{2}{7})\lim_{n \to \infty}\log(n)=-\infty,$$ therefore: $\lim_{n \to \infty}x_{n}=\lim_{n \to \infty}e^{\log(x_{n})}=0$. Therefore: $\lim_{n \to \infty }\left | a_{n} \right |^{\frac{1}{n}}=0< 1$. Así que por la raíz de la prueba, la serie converge.

Puede usted por favor hágamelo saber si mi solución es correcta (especialmente en los últimos pasos) o no? si hay un error, por favor hágamelo saber cómo debo solucionarlo. También, si conoce una mejor forma de solucionar el problema , por favor hágamelo saber. Gracias!

Answer 1

Un poco más complicado de lo que pensaba:

$$\left (\frac{2 n+5}{7 n+6}\right)^{n \log{(n+1)}} \sim \left (\frac{2 }{7}\right)^{n \log{n}} \frac{\left(1+\frac{5/2}{n}\right)^{n \log{n}}}{\left(1+\frac{6/7}{n}\right)^{n \log{n}}}$$

Esto se convierte en

$$\left (\frac{2 }{7}\right)^{n \log{n}} n^{23/14} \quad (n \to \infty)$$

Entonces la pregunta es, ¿

$$\sum_{n=1}^{\infty} \left (\frac{2 }{7}\right)^{n \log{n} } n^{23/14}$$

convergen? La respuesta es sí, por la integral de la prueba, porque

$$\int_1^{\infty} dt \, t^{\alpha} \, e^{- \beta t}$$

converge para cualquier positivos $\alpha$$\beta$, y debido a $n \lt n \log{n}$. (Aquí, $\alpha = 23/14$$\beta = \log{(7/2)}$.)

Answer 2

Otra forma de probar la convergencia sería para el estudio de la integral

$$\int_0^\infty \left(\frac{2x+5}{7x+6} \right)^{x\ln x}\, dx.$$

El integrando es una función continua en a $x\to 0$ y en el infinito majorated por $c(2/7)^x$ para alguna constante positiva $c$, por lo tanto la integral converge; por un criterio integral, también lo hace la serie.

Su método funciona, también.

Answer 3

Como para $n \geq 3$ tenemos $$\frac{2n+5}{7n+6} < \frac{3}{7} <1$$

obtenemos $n \geq 3$

$$\left(\frac{2n+5}{7n+6}\right)^{n\log(n+1)} < \left(\frac{3}{7}\right)^{n\log(n+1)}< \left(\frac{3}{7}\right)^{n}$$

Así, por comparación con una serie geométrica, la serie es convergente.