Serie de Taylor de una integral

Question

Tengo el siguiente integral

$$ 2\int_r^\infty \frac{x g(x)}{\sqrt{x^2-r^2}}\text{d}x $$

donde $g$ es una distribución de probabilidad (normalizado y simétrica alrededor de su único máximo en 0). Estoy tratando de estudiar su comportamiento para $r\to 0$ (al menos de segundo orden), pero no puedo Taylor expandirla. Con la ayuda de la computadora, el resultado parece ser$1-r^2/2$, independientemente de $g$. He intentado cambiando la variable de a $x/r$ o derivar bajo el signo integral, pero sin resultados convincentes. Gracias.

Answer 1

Considere la posibilidad de

$$I(r)=\int_r^\infty \frac{x g(x)}{\sqrt{x^2-r^2}}\text{d}x=\int_r^\infty \frac{ g(x)}{\sqrt{1-\frac{r^2}{x^2}}}\text{d}x$$ El siguiente paso es una expansión de Taylor

$$\frac{ 1}{\sqrt{1-\frac{r^2}{x^2}}}=1+\sum_{k=1}^{\infty}\frac{(2k-1)!!}{(2k)!!}\frac{r^{2k}}{x^{2k}}$$ where $(2k)!!=2^kk!$ and $(2k-1)!!=\frac{(2k)!}{2^kk!}$ son los llamados doble factoriales. Así

$$I(r)=\int_{r}^{\infty}g(x)dx+\sum_{k=1}^{\infty}\frac{(2k-1)!!}{(2k)!!}\int_{r}^{\infty}\frac{r^{2k}}{x^{2k}}g(x)dx$$ Now, we make a change of variables in the second integral. Namely $x=ry$. Este rendimientos

$$I(r)=\int_{r}^{\infty}g(x)dx+r\sum_{k=1}^{\infty}\frac{(2k-1)!!}{(2k)!!}\int_{1}^{\infty}\frac{g(ry)}{y^{2k}}dy$$ Next, let $M=\text{max}\;g(x)$;$\;$ $r<x<\infty$, Entonces, podemos evaluar la integral en el interior de la suma

$$\int_{1}^{\infty}\frac{dy}{y^{2k}}=\frac{1}{2k-1}$$ y obtener la estimación siguiente

$$I(r)<\int_{r}^{\infty}g(x)dx+rM\sum_{k=1}^{\infty}\frac{1}{2k-1}\frac{(2k-1)!!}{(2k)!!}$$ Finally,for $r\to 0$, una respuesta podría ser:

$$1\leqslant I(r)< 1+rM\sum_{k=1}^{\infty}\frac{1}{2k-1}\frac{(2k-1)!!}{(2k)!!}$$ De la última suma converge!