¿Qué es $\prod_{k=1}^n (1-x^k)$?

Question

Me gustaría saber qué $$\prod_{k=1}^n (1-x^k)$$

evalúa a (suponiendo que no es una simple forma cerrada) y lo que "es" en el contexto del álgebra conmutativa (de los cuales yo conocía poco y recordar menos).

Estoy seguro de que he visto esto en el pasado, pero no sabe dónde colocar. Látex de búsqueda no ayuda.

Answer 1

Bien, uno tiene $$\prod_{n\geq1}(1-x^k) = \sum_{-\infty\leq n\leq\infty}(-1)^nx^{(3n^2-n)/2}.$$ Esto es una consecuencia de Jacobi de la triple identidad del producto.

Se le preguntó acerca de un determinado producto, pero a partir de esta igualdad se puede decir lo son los coeficientes en la ampliación de la finita del producto.

El contexto de esta identidades es, entre otros, la teoría de particiones. Estoy seguro de que usted va a encontrar una prueba de esto en Andrews " excelente La Teoría de Particiones, junto con información relacionada.