Si $a,b,c(a,b,c\in\mathbb{R} )$ satisfacer $b^2-4ac<0$, entonces la ecuación de $f(x)=0$ tiene complejo de raíz

Question

Agradecería si alguien me podría ayudar con el siguiente problema:

P: demostrar que (a$n>2, n\in\mathbb{N}$)

Deje que $f(x)=a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+\cdots+ax^2+bx+c, ~(a_i\in\mathbb{R}(i=3,4,\cdots,n),a_n\neq 0) $

Si $a,b,c(a,b,c\in\mathbb{R} )$ satisfacer $b^2-4ac<0$, entonces la ecuación de $f(x)=0$ tiene complejo de raíz

Answer 1

Si te refieres a que $f(x)=0$ debe tener un complejo de raíz de que no es real, entonces esto no es cierto. Mira el polinomio $$ f(x) = x^3 + 3x^2 + 3x + 1. $$

Aquí $b^2 - 4ac = 3^2 - 4\cdot 3 \cdot 1 = (-3) < 0$, pero el único complejo de la raíz de $f$ $x_0 = -1$ (con multiplicidad $3$), que es real.

Si te refieres a que $f(x)=0$ se debe simplemente a que tienen un complejo de raíz, esto es cierto debido a que $a_n \neq 0$ por el teorema fundamental del álgebra.

Answer 2

No se puede evitar porque es erróneo. De hecho, acaba de tomar las dos ejemplos de polinomios con todas sus raíces reales $$ (x-1)(x-2)(x+3)=x^3-7x+6=0,\quad b^2-4ac=49>0, $$ $$ (x-1)(x-2)(x-3)=x^3-6x^2+11x-6=0,\quad b^2-4ac=-23<0, $$ a pesar de que el signo del discriminante $b^2-4ac$.