Ayuda con una integral de sustitución trigonométrica

Question

Estoy en el capítulo de sustitución trigonométrica para integrar diferentes funciones. Estoy teniendo un poco de problemas incluso para empezar esta pregunta de la tarea: $$\int \frac{(x^2+3x+4)\,dx} {\sqrt{x^2-4x}}$$

Answer 1

Un comienzo: Tenemos $x^2-4x=(x-2)^2-4$ . Si se quiere utilizar una sustitución trigonométrica, la natural es $x-2=2\sec t$ .

Desgraciadamente, acabamos necesitando integrar los poderes de $\sec t$ un asunto complicado. Más agradable es la sustitución de la función hiperbólica $x-2=2\cosh t$ .

Answer 2

También hay que tener en cuenta que $x^{2}+3x+4 = (x-2)^{2} + 7x = 4\sec^{2}(t) + 7 \cdot (2\sec(t)+2)$

Answer 3

Realiza la sustitución sugerida completando el cuadrado, $\sqrt{x^2-4x}=\sqrt{(x-2)^2-4}$ Es decir, $y=x-2$ . Entonces, por el triángulo fácilmente construido, tenemos

\begin{align} \frac{y}{2} & = \sec\theta\\ \frac{\sqrt{y^2-4}}{2} & = \tan\theta\\ x^2+3x+4 & =(y+2)^2+3(y+2)+4\\ & = y^2+7y+14\\ \frac{dy}{2} & = \sec\theta\tan\theta\ d\theta. \end{align} La integral se convierte en

\begin{align} \int \frac{(x^2+3x+4)} {\sqrt{x^2-4x}}dx & = \int\frac{y^2+7y+14}{\sqrt{y^2-4}}dy\\ & = \int\frac{4\sec^2\theta+14\sec\theta+14}{2\tan\theta}2\sec\theta\tan\theta\ d\theta\\ & = \int4\sec^3\theta+14\sec^2\theta+14\sec\theta\ d\theta. \end{align}

André Nicolas sugiere en otra respuesta que las potencias de la secante son desagradables, y que un subtipo de trigonometría hiperbólica sería más adecuado. (Claude Leibovici lo analiza).

(Recuerdo vagamente los métodos para la $\sec^3\theta$ integrando en el Cálculo de Stewart. El $\sec\theta$ está en la mayoría de las listas de integrales trigonométricas, y quizás el $\sec^2\theta$ es susceptible de una identidad trigonométrica fortuita).

Aquí hay algunos recursos sobre ellos:

http://en.wikipedia.org/wiki/List_of_integrals_of_trigonometric_functions#Integrands_involving_only_secant

http://en.wikipedia.org/wiki/Integral_of_the_secant_function

http://en.wikipedia.org/wiki/Integral_of_secant_cubed

Answer 4

Para hacer una sustitución adecuada en el cálculo integral, la función que estás sustituyendo debe tener una función inversa única. Sin embargo, hay un caso en el que la derivada está presente y se puede hacer lo que yo llamo una "sustitución virtual". Este no es exactamente el caso aquí, tenemos que hacer otras manipulaciones algebraicas. Las funciones trigonométricas como el seno, el coseno y sus variantes tienen infinitas funciones inversas; las funciones trigonométricas inversas (es decir, el arcoseno, el arcocoseno, etc...) tienen una única función inversa, por lo que están bien. Por ejemplo, si hiciera la sustitución $y = \sin x$ ( donde $-1≤y≤1$ ) , entonces $ x = (-1)^n \cdot \arcsin y + n\pi$ ( $n \in \mathbb Z$ ): esto no funciona, sin límite. Si alguien no está de acuerdo con mi afirmación, que demuestre que la sustitución es correcta. Además, en mi opinión, convertir una función racional/algebraica en una función trascendental es ridículo. Hay formas muy elementales de abordar esta integral; un buen libro para leer sobre muchos de estos métodos es Calculus Made Easy de Silvanus P. Thompson.

Answer 5

Puede que haya sido demasiado rápido aunque la respuesta sea casi correcta.

Primero hacer $x = 2 (\cosh(y) + 1)$ . La integral se convierte entonces en

$(\pm) 2 (8 + 7 \cosh(y) + \cosh(2 y))$

Así, la integral es $(\pm) (16 y + 14 \sinh(y) + \sinh(2 y))$

Si sustituye $y$ se llega a mi fórmula (la $\pm$ faltaba)