¿Por qué considerar la ramificación sólo a través de los campos de número?

Question

Hay una razón por la que uno se ve en la ramificación de primer ideales sólo a través de (los anillos de enteros de) número de campos? Hay ciertamente muchas más situaciones en las que uno tiene anillos con el primer ideales.

Answer 1

Si $\pi:A\to B$ es cualquier mapa de anillos conmutativos que sea, hay una buena noción de ramificación. Los ejemplos mencionados hasta ahora (los anillos de enteros de número de campos o campos locales, superficies de Riemann) suponga que $\pi$ es una extensión de los dominios de Dedekind. En esta configuración, vamos a empezar con un primer ideal de $\mathfrak{p}\subset A$, y la extendemos a $B$, entonces el factor de forma única como $\mathfrak{p}B=\prod\mathfrak{p}_i^{e_i}$. Se dice entonces que $\mathfrak{p}$ ramifies en $B$ si tenemos en $e_i>1$.

Pero la única factorización de ideales primos es algo específico para los dominios de Dedekind. En el más general de configuración, lo que hay que hacer es tomar el módulo (gavilla) de los diferenciales $\Omega_{B/A}$$B$; su apoyo en $B$ (conjunto de los números primos $\mathfrak{q}\subset B$ que $(\Omega_{B/A})_{\mathfrak{q}}\neq0$) es la ramificación de locus de el mapa de $\pi$, y el primer ideales $\pi^{-1}(\mathfrak{q})\subset A$ formulario de la rama de locus de $\pi$; estos son los ramificada de los números primos de los de antes. Porque la formación de $\Omega_{B/A}$ viajes con la localización, un alojamiento ideal $\mathfrak{p}\subset A$ ramifies en $B$ si y sólo si $\Omega_{B_\mathfrak{p}/A_\mathfrak{p}}\neq0$. En el caso de los anillos de enteros de los campos de número, queremos recuperar la definición del párrafo anterior.

Geométricamente, la ramificación y la rama de loci corresponden a la (cerrado) loci en el origen y de destino en el mapa de esquemas (variedades) $Spec(B)\to Spec(A)$ no puede ser liso, dado los supuestos adicionales (es decir, que $A\to B$ plano y localmente finito de presentación). En el caso de que $A,B$ son dominios de Dedekind y finitely generadas $\mathbb{C}$-álgebras (es decir, $Spec(A)$ $Spec(B)$ son suaves curvas complejas), recuperamos la imagen geométrica de la ramificación de las superficies de Riemann.

Answer 2

Sé que al menos un ejemplo distinto número de campos donde ramificación es estudiado. La ramificación es estudiado para finito de extensiones de $\mathbb{Q}_p$, ($\mathbb{Q}_p$ es el campo de $p$-ádico números). Tomamos una extensión finita $K$ $\mathbb{Q}_p$ y considerar integral, el cierre de más de $\mathbb{Z}_p$. ($\mathbb{Z}_p$ es el análogo de $\mathbb{Z}$ en el caso de $\mathbb{Q}_p$).

La construcción de $\mathbb{Q}_p$ $\mathbb{Q}$ requiere un cierto esfuerzo, y no es en absoluto trivial para un principiante. Pero cuando se trata de ramificación, el panorama es mucho más simple que el de $\mathbb{Q}$. Esto es debido a que la integral de cierre de $K$ $\mathbb{Z}_p$ pasa a tener sólo un primer ideal. Esto hace que el estudio sea algo más sencillo que el $\mathbb{Q}$.