El impacto de la relatividad general en una nave espacial en órbita puede ser visto de acuerdo a las modificaciones de la mecánica Newtoniana. No es difícil de calcular las órbitas en el espacio-tiempo de Schwarzschild sin golpear fuera de Christoffel de conexión términos. El invariante intervalo de $ds^2~=~g_{\mu\nu}dx^\mu dx^\nu$ cero, con una variación $\delta\int ds~=~0$. A continuación, podemos ver la acción es equivalente a la hora adecuada, y hay un Lagrangiano ${\cal L}~=~ds/dt$ que no tiene ninguna variación.
Para la métrica de Schwarzschild
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ds^2~=~c^2\left(1~-~\frac{2m}{r}\right)dt^2~-~\left(1~-~\frac{2m}{r}\right)^{-1}dr^2~-~r^2d\Omega^2,
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para $m~=~GM/c^2$. Asumimos que hay un campo débil para $(1~-~\frac{2m}{r})^{-1}~\simeq$ $1~+~\frac{2m}{r}$ y ponemos la dinámica en un solo plano, de modo
$$
ds^2~=~c^2\left(1~-~\frac{2m}{r}\right)dt^2~-~\left(1~+~\frac{2m}{r}\right)dr^2~-~r^2d\phi^2.
$$
Ahora conseguir el Lagrangiano con
$$
\left(\frac{ds}{dt}\right)^2~=~c^2\left(1~-~\frac{2m}{r}\right)~-~\left(1~+~\frac{2m}{r}\right)\left(\frac{dr}{dt}\right)^2~-~r^2\left(\frac{d\phi}{dt}^2\right)^2.
$$
Mientras que esta es la plaza de la Lagrangiana, desde el lado de la mano izquierda de Euler-Lagrange ecuación tiene dos derivados habrá un término con $O(c^-1)$ a partir de la derivada de la raíz cuadrada. Esto se asocia con una "plaza de la Lagrangiana" en el denominador. Esta es la razón por la $c^2$ plazo se mantiene en el $dt^2$ parte de la línea de elemento. Hemos de dejar de lado esta "plaza de la Lagrangiana" en un semi-relativista caso. Esto significa que podemos utilizar $\left(\frac{ds}{dt}\right)^2$ como el Lagrangiano de a $O(c^{-1})$ de error. Entonces tenemos las siguientes ecuaciones diferenciales
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\frac{\partial}{\partial t}\left(\frac{\partial{\cal L}}{\partial\dot r}\right)~-~\left(\frac{\partial{\cal L}}{\partial r}\right)~=~0~\rightarrow~\ddot r~\simeq~\left(1~-~\frac{2GM}{rc^2}\right)\left[\left(1~-~\frac{v^2}{c^2}\right)\frac{GM}{r^2}~+~\frac{1}{2}r\dot\phi\right]
$$
$$
\frac{\partial}{\partial t}\left(\frac{\partial{\cal L}}{\partial\dot\phi}\right)~-~\left(\frac{\partial{\cal L}}{\partial\phi}\right)~=~0~\rightarrow~r^2\ddot\phi~+~-2r\dot r\dot\phi~=~0
$$
Estos son los dos relevante de las ecuaciones de movimiento
El primero de estos se pueden poner en forma estándar con el momento angular $L^2~=~m^2r^4\dot\phi^2$, por lo que
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\ddot r~=~\left(1~-~\frac{2GM}{rc^2}\right)\left[\left(1~-~\frac{v^2}{c^2}\right)\frac{GM}{r^2}~+~\frac{L^2}{2mr^3}\right].
$$
Ahora, con la eliminación de la $O(c^{-2})$ términos sólo tenemos el estándar de Newton resultado para la fuerza de la gravitación. Vemos entonces que hay de la modificación por el factor de Lorentz $1~-~\frac{v^2}{c^2}$ y la métrica de Schwarzschild plazo $1~-~\frac{2GM}{rc^2}$.
Para una nave espacial en órbita alrededor de la Tierra con $v~=~\sqrt{GM/r}$ que $v/c~\simeq~2.3\times 10^{-5}$ y la corrección relativista términos van a estar en el orden de $(v/c)^2~=~5\times 10^{-10}$. Este parece pequeño, hasta que uno considera de navegación. Este error es en gran medida va a influir en la tasa relativa de que los relojes de la marca. Si en un segundo hay este error en el momento de la $5\times 10^{-10}sec$ corresponde a la deriva en el error de distancia de $d~=~ct$ $=~16$cm. Esto de repente se convierte en un problema considerable. Para el seguimiento de GPS esto es algo de importancia y el conocimiento del campo gravitacional es una parte de la geodesia de los satélites.
