Contraejemplo que implican producto tensor de $A$-módulos es igual a cero

Question

Me han demostrado la siguiente declaración y estoy buscando un contraejemplo donde $M$ o $N$ no es finitely generar de manera que la implicación no se sostiene. Me gustaría apppreciate consejos.

Deje $A$ ser un anillo local, $M$ $N$ finitely generadas $A$-módulos. Mostrar que si $M \otimes_A N = 0$ $M=0$ o $N=0.$

Answer 1

Para un ejemplo sencillo, vamos a $A$ ser cualquier anillo local con un elemento $a\in A$, que no es nilpotent ni una unidad. A continuación, la localización de la $M=A[a^{-1}]$ es distinto de cero (desde $a$ no es nilpotent) y el cociente $N=A/(a)$ es distinto de cero (desde $a$ no es una unidad), sino $M\otimes_A N=0$ desde $a$ debe tanto a aniquilarlo y actuar como una unidad.

Answer 2

Considere la posibilidad de $M=N=\mathbb{Q}/\mathbb{Z}$,$M\otimes_{\mathbb{Z}} N = 0$, ahora localización: $\mathbb{Q}/\mathbb{Z}_{(p)}\otimes_{\mathbb{Z}_{(p)}} \mathbb{Q}/\mathbb{Z}_{(p)} =0 $.