Pregunta sobre la transformación lineal $ \operatorname{Hom}(V,W)$ y $ \operatorname{Hom}(W,V)$ condiciones satisfactorias

Question

Por favor, ¿pueden ayudarme con estas preguntas? No estoy seguro de cómo empezarla o terminarla.

Dejemos que $V$ y $W$ sean espacios vectoriales sobre un campo $F$ . Sea $\alpha$ sea un elemento de $ \operatorname{Hom}(V,W)$ y $\beta$ sea un elemento de $ \operatorname{Hom}(W,V)$ satisfacen la condición $\alpha\cdot\beta\cdot\alpha=\alpha$ .

Si $w \in \operatorname{Im}(\alpha)$ , demuestran que $\alpha^{-1}(w) = \{ \beta(w)+v - \beta \alpha(v) \mid v \in V \}$ .

Answer 1

Si demuestran que

1) si $k=b(w)+v-ba(v)$ | $v \in V$

entonces $k \in a^{-1}(w)$ que significa $a(k)=w$ .

2) si $v$ s.t $a(v)=w$ entonces $v=b(w)+v-ba(v)$ donde

a,b funciones lineales s.t $aba=a$

¿Puede utilizar la linealidad y $aba=a$ para probar esos dos? Si lo haces, has demostrado que el conjunto $\{b(w)+v-ba(v)|v \in V \}$ es igual al conjunto $\{v \in V| a(v)=w\}$

Answer 2

En general, es cierto que, para $w$ a imagen y semejanza de $\alpha$ , $\alpha^{-1}(w)=\{x+y:y\in\ker\alpha\}$ , donde $x\in V$ es un vector fijo tal que $\alpha(x)=w$ .

Desde $w=\alpha(x)$ entonces $w=\alpha(x)=\alpha\beta\alpha(x)=\alpha\beta(w)$ , por lo que podemos tomar $x=\beta(w)$ .

Ahora bien, en general es cierto que $\alpha^{-1}(w)=\{\beta(w)+y:y\in\ker\alpha\}$ Así que sólo tenemos que determinar $\ker\alpha$ .

Dejemos que $v\in V$ Entonces $$ \alpha(v-\beta\alpha(v))=\alpha(v)-\alpha\beta\alpha(v)=0 $$ así que $v-\beta\alpha(v)\in\ker\alpha$ . Por el contrario, si $y\in\ker\alpha$ entonces $y=y-\beta\alpha(y)$ . Así, $$ \ker\alpha=\{v-\alpha\beta(v):v\in V\} $$

Answer 3

Escriba $w=\alpha(u)$ con $u \in V$ . Entonces $\alpha\beta(w)=\alpha\beta\alpha(u)=\alpha(u)=w$ y así $\beta(w) \in \alpha^{-1}(w)$ .

Por lo tanto, $\alpha^{-1}(w)=\beta(w) + \ker \alpha$ .

Así que queda por demostrar que $\ker \alpha = \{ v - \beta \alpha(v) : v \in V \}$ .

Ahora $\alpha\beta\alpha=\alpha$ implica $\ker \alpha \supseteq \{ v - \beta \alpha(v) : v \in V \}$ .

También, $v \in \ker \alpha$ implica $v=v - \beta \alpha(v)$ y así $\ker \alpha \subseteq \{ v - \beta \alpha(v) : v \in V \}$ .