Que de segundo orden, las teorías tienen un modelo?

Question

Un primer orden de la teoría tiene un modelo si y sólo si es consistente.

Si un segundo orden de la teoría tiene un modelo, entonces es consistente, pero a la inversa no tiene.

Así que me pregunto si hay alguna condición, más fuerte que la coherencia, que le indica cuando una de segundo orden, la teoría tiene un modelo. Hay algunos puramente sintáctica de la propiedad que una teoría ha si y sólo si tiene un modelo?

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Obviamente estoy hablando de la semántica completa aquí en lugar de la semántica de Henkin, puesto que las teorías tienen un Henkin modelo si y sólo si son consistentes.

Answer 1

Este tipo de propiedad no puede existir, al menos si

• un "puramente sintáctica" de la propiedad se refiere a algo que puede ser expresado como una de primer orden aritmético de la propiedad de los números de Gödel de la teoría de los axiomas (que no parece razonable).
• se supone que debemos ser capaces de demostrar que la propiedad de las obras, el uso ordinario de ZFC como nuestro metatheory.

Tener en cuenta que podemos escribir un finitely axiomatized de segundo orden de la teoría que tiene un modelo si y sólo si la hipótesis continua es cierto en el nivel meta. (Comience con el de segundo orden axiomas de Peano, agregar una nueva especie para los conjuntos de números enteros, y la afirmación de que cada conjunto de conjuntos de números enteros tiene una inyección en los productos naturales o un surjection en todo el universo).

Sin embargo, si echamos un modelo de ZFC+CH, y también tomar su edificable universo, entonces tenemos dos modelos de ZFC donde uno satisface la hipótesis continua pero el otro no, sin embargo, los dos modelos tienen la misma enteros (y la misma aritmética de ellos). Por lo que cualquier propuesta de "puramente sintáctica" criterio daría la misma respuesta en ambos, sin embargo, que la respuesta sería un error en uno de ellos.

Answer 2

Para simplificar, es común trabajar sólo con el lenguaje de la igualdad. Deje $V^2$ el conjunto de segundo orden validities en este idioma. También es algo común a mirar el conjunto de $V^2$, en lugar del conjunto sistemático de las sentencias. Por supuesto, una frase es consistente si y sólo si su negación no es una de validez, por lo que no hay diferencia real en el estudio de la $V^2$.

La respuesta por Henning Makholm muestra que $V^2$ no es definible en primer orden de la aritmética.

Esto puede ser extendido para mostrar que $V^2$ no es definible en segundo orden de la aritmética. La prueba es, básicamente, del teorema de Tarski sobre la undefinability de la verdad.

Debido a que cada una de las $n$th-nivel de orden superior aritmética es interpretable en segundo orden de la aritmética en un conocido manera, esto demuestra que $V^2$ no es definible en $n$th el fin de aritmética para cualquier $n$.

No tengo una copia en mano de "la Teoría de conjuntos y de Orden Superior de la Lógica", de Richard Montague, de 1965, en la que los Sistemas Formales y Funciones Recursivas, los Estudios de Lógica y Fundamentos de las Matemáticas v. 40, pp 131-148. DOI 10.1016/S0049-237X(08)71686-0. Shapiro atributos para este papel, una extensión que $V^2$ no es definible, incluso en una colección de transfinito niveles de orden superior de la aritmética.

Como un límite superior, parece que Montague demostrado que si $\lambda$ es el número de Lowenheim de segundo orden de la lógica, a continuación, $V^2$ es definible en $(\lambda + 1)$th el fin de la aritmética. El Lowenheim número es el más pequeño cardenal $\lambda$, de modo que si una teoría de la $T$ tiene un modelo, entonces tiene un modelo de tamaño inferior a $\max(|T|,\lambda)$.

Para los de segundo orden de la lógica en el estándar de la semántica de la Lowenheim número es conocido por ser extremadamente grande es más grande que la primera medibles cardenal si hay un cardinal medible. Para una mayor discusión de $\lambda$, lo que ellos llaman $\text{LS}(L^2)$, ver Menachem Magidor y Jouko Väänänen, "En Löwenheim-Skolem-Tarski números de extensiones de primer orden de la lógica", J. Math. Registro. v. 11, 2011, DOI 10.1142/S0219061311001018,