Mostrar que $\lim_{n \to \infty} \int_0^{\infty} \frac{1}{1+x^n}~dx = 1$

Question

Necesito ayuda para probar el siguiente límite: $$\lim_{n \to \infty} \int_0^{\infty} \frac{1}{1+x^n}~dx = 1$$

En WolframAlpha yo estaba jugando con los valores de la secuencia definida por la integral y se dio cuenta que los valores parecen ser arbitrariamente cercano a 1. Supongo que la dificultad es encontrar un cerrado expresión para el valor de la integral definida.

Answer 1

Dividirlo en dos integrales, en $[0,1]$ y en $[1,\infty)$. $$\int_1^\infty\frac{dx}{1+x^n}<\int_1^\infty\frac{dx}{x^n}=\frac1{n-1}$$ así $$\int_1^\infty\frac{dx}{1+x^n}\to0.$$ También $$1-\int_0^1\frac{dx}{1+x^n}=\int_0^1\frac{x^n}{1+x^n}\,dx <\int_0^1 x^n\,dx=\frac1{n+1}\to0$$ así $$\int_0^1\frac{dx}{1+x^n}\to1.$$

Answer 2

Dividir la integral en dos partes, una en $[0,1]$ y la segunda en $[1,+\infty]$. Utilizando el teorema de convergencia Dominada se debe a la conclusión de que la primera integral converge a $1$ y el segundo a la $0$. Si necesitas más ayuda me avisas.

Answer 3

SUGERENCIA

La integral

$$ \mathcal{I}= \int_0^\infty \frac{1}{1+x^n} dx,$$

puede ser de forma equivalente, expresado como

$$ \mathcal{I} = \frac{1}{n} \int^1_0 t^{\left(1-\frac{1}{n}\right) - 1} \left(1-t\right)^{\left(\frac{1}{n}\right)-1} dt = \frac{1}{n} B \left(1-\frac{1}{n},\frac{1}{n} \right),$$

donde $B(x,y)$ es la función Beta. Usted puede hacer uso de la identidad

$$ B(x,y) = \frac{\Gamma(x) \Gamma(y)}{\Gamma(x+y)} = \frac{\Gamma\left( 1 - \frac{1}{n}\right) \Gamma \left(\frac{1}{n} \right)}{\Gamma(1)}, $$

donde $\Gamma$ denota la función Gamma y $\Gamma(1) = 1$. Se puede demostrar que

$$ \Gamma\left( 1 - \frac{1}{n}\right) \Gamma \left(\frac{1}{n} \right) = \frac{\pi}{ \sin(\pi/n)}. $$

Por lo tanto, la integral tiene la forma

$$ \mathcal{I}= \int_0^\infty \frac{1}{1+x^n} dx = \left( \frac{\pi}{n} \right) \frac{1}{\sin(\pi/n)},$$

donde el límite se sigue inmediatamente.

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La integral se obtiene después de la sustitución

$$ t = \frac{1}{1+x^n}, $$

y haciendo uso del hecho de

$$ dx = -\frac{1}{n} \left(\frac{1}{t(1-t)} \right) \left( \frac{1-t}{t}\right)^{1/n} dt.$$

Answer 4

Tenga en cuenta que podemos escribir para $n>1$

$$\begin{align} \int_0^\infty \frac{1}{1+x^n}\,dx&=\int_0^1 \frac{1+x^{n-2}}{1+x^n}\,dx\\\\ &=1+\int_0^1 \frac{x^{n-2}-x^n}{1+x^n}\,dx \end{align}$$

y

$$\left|\int_0^1 \frac{x^{n-2}-x^n}{1+x^n}\,dx\right|\le \frac{1}{n-1}-\frac{1}{n+1}$$

Answer 5

La integral tiene el valor

$$\frac{\pi \csc \left(\frac{\pi }{n}\right)}{n}$$

y el límite de $n \to \infty$$1$, donde se puede utilizar la regla de l'Hospital de.