Deje $E \subset \mathbb{R}$ ser un Lebesgue medibles conjunto con finito de medida. Demostrar o dar un contraejemplo que $$ f(t) = \int_E \cos(tx) dx $$ es continuamente diferenciable.
He demostrado que f es continua y, además, f es absolutamente continua en cada subconjunto compacto y, por tanto, es derivable en casi todas partes.
Además, si $E$ está contenida en algunas conjunto compacto (hasta un valor nulo), entonces $f(t)$ es analítica y, por tanto, infinitamente derivable (como en esta pregunta). Sin embargo, si $E$ es ilimitado, más en general, no estoy seguro de cómo proceder. Cualquier ayuda se agradece.
Respuesta
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Christian Remling
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La función no necesita ser diferenciable. Que es plausible de inmediato porque es de esperar que el derivado ser $-\int_E x \sin tx \, dx$, pero esta integral no necesitan converger.
Para una versión más precisa, hacer la suposición adicional de que $E\subseteq (0,\infty)$ y $$ |E\cap (L,\infty)| = o(1/L^4) $$ como $L\to\infty$. También quiero reemplazar el coseno por $e^{itx}$, para una mayor comodidad. Entonces $$ f(t+h)-f(t) = \int_E e^{itx} e^{ihx}-1)\, dx . $$ Me cortó la integral en $h^{-1/4}$. Por nuestra suposición sobre la $E$, la quita parte contribuye sólo a $o(h)$, por lo que es irrelevante para el cálculo de la derivada. En $0\le x\le h^{-1/4}$,$e^{ihx}-1=ihx + O(h^{3/2})$. De ello se sigue que si $f'(t)$ existe, entonces $$ f'(t) = \lim_{h\to 0}\int_0^{h^{-1/4}} \chi_E(x)xe^{itx}\, dx . $$
Sin embargo, es fácil de cocinar un $E$ para que este límite no existe para un determinado $t$; sólo se concentran $E$ cerca de los puntos de con $tx\equiv 0 \bmod 2\pi$.
