Inadecuado Integral Parcial de las Fracciones o un Truco?

Question

$$\int_{-\infty}^{\infty}\frac{dx}{(x^2+ax+a^2)(x^2+bx+b^2)}$$ a y b son constantes real

¿Cómo debo resolver la integral anterior? Hay un bonito, interesante método? o parcial de las fracciones que la única manera de hacerlo?

Hice resolver usando fracciones parciales, pero lo tengo muy largo y pesado preguntando si hay una manera mejor de hacerlo.

Muchas gracias!

Answer 1

Wolfy la respuesta es más complicada, ya que no sabe de residuos teorema:).

Esta integral es lo que exactamente teorema de los residuos se pueden tratar con facilidad.

El denominador pueden ser factorizados a $$(x-p|a|)(x-\overline p|a|)(x-q|b|)(x-\overline q|b|)$$

donde $$p=\frac{-\text{sgn}(a)+i\sqrt 3}2$$ $$q=\frac{-\text{sgn}(b)+i\sqrt 3}2$$

Ahora, tome un contorno $C$ que es un ser infinitamente grande semicircunferencia con centro en el origen en la mitad superior del plano complejo.

Por el teorema de los residuos, $$\oint_C\frac1{(x-p|a|)(x-\overline p|a|)(x-q|b|)(x-\overline q|b|)}dx=2\pi i\sum \text{residue included}$$

También tenga en cuenta que $$\oint_C=\underbrace{\int_{\text{arc}}}_{\to0}+\int^\infty_{-\infty}$$

El único residuo que se incluyen son en$A=p|a|$$B=q|b|$, y los residuos en estos dos puntos son, respectivamente, $$\text{Res}_{p|a|}=\frac1{(p|a|-\overline p|a|)(p|a|-q|b|)(p|a|-\overline q|b|)}=\frac1{i\sqrt3|a| (p|a|-q|b|)(p|a|-\overline q|b|) }$$ $$\text{Res}_{q|b|}=\frac1{(q|b|-p|a|)(q|b|-\overline p|a|)(q|b|-\overline q|b|)}=\frac1{i\sqrt3|b| (q|b|-p|a|)(q|b|-\overline p|a|) }$$

Los residuos pueden ser compacta escrito como

$$\text{Res}_{A}=\frac1{i\sqrt3|a| (A-B)(A-\overline B) }$$

$$\text{Res}_{B}=\frac1{i\sqrt3|b| (B-A)(B-\overline A) }$$

El cálculo se completa:

$$\color{red}{\int^\infty_{-\infty}\frac1{(x^2+ax+a^2)(x^2+bx+b^2)}dx=\frac{2\pi}{\sqrt3(A-B)}\left(\frac1{|a|(A-\overline B)}+\frac1{|b|(\overline A-B)}\right)}$$

Los residuos puede parecer complicado, pero no tenga miedo de hacer algo tedioso álgebra para sumarlos. Seguramente hay algunas buenas simplificaciones/efectiva la cancelación.

**Se puede observar la simetría oculta entre las $a$ $b$ en el resultado? :)