Subgrupo de ajuste del producto de la corona de $\Bbb Z_p$ con un abeliano infinito $p$ -grupo.

Question

Digamos que tengo un abeliano elemental infinito $p$ -grupo $E$ (es decir, con presentación $E= \langle x_1,x_2,x_3,... \mid x_i^p=1, \ x_i x_j = x_j x_i \rangle$ ).

¿Cómo puedo encontrar el subgrupo de ajuste del producto de la corona? $G := \mathbb{Z}_p \wr E$ o, más exactamente, cómo podría demostrar que $\operatorname{Fitt}(G) = G$ ?

Lo que pienso es que hay que encontrar una serie de subgrupos normales con clase de nilpotencia creciente, así que algo como $\mathbb{Z}_p \times E$ , $(\mathbb{Z}_p \oplus \mathbb{Z}_p) \times E, \ldots$ pero estos no parecen ser normales en $G$ y no se me ocurre ninguna mejor.

¿Alguna idea?

Answer 1

Dejemos que $B$ sea el grupo base del producto Wreath. Así que $B$ es también un abeliano elemental infinito $p$ -grupo. Además, o $n \ge 0$ , dejemos que $E_n$ sea el subgrupo finito $\langle x_1,\ldots,x_n \rangle$ de $E$ .

Ahora los subgrupos $H_n := \langle B, E_n \rangle$ para $n \ge 0$ son todos normales en $G$ . Tenga en cuenta que $H_n$ es un producto subdirecto de infinitas copias de $C_p \wr E_n$ y por lo tanto es nilpotente.

Así que desde $G = \cup_{i \ge 0} H_n$ tenemos ${\rm Fit}(G) = G$ .