Es $\mathbb Q(\zeta_6)=\mathbb {Q}(\zeta_3)$?

Question

Yo tengo confundidos sobre lo siguiente:

Tenemos $$\mathbb Q(\zeta_3)=\mathbb Q(\exp(2\pi i/3))=\mathbb Q\left(\cos\frac{2\pi}{3}+i\sin\frac{2\pi}{3}\right)=\mathbb Q\left(-\frac{1}{2}+\frac{i\sqrt 3}{2}\right)=\mathbb Q(i\sqrt 3),$$ but also $$\mathbb Q(\zeta_6)=\mathbb Q(\exp(2\pi i/6))=\mathbb Q\left(\cos\frac{2\pi}{6}+i\sin\frac{2\pi}{6}\right)=\mathbb Q\left(\frac{1}{2}+\frac{i\sqrt 3}{2}\right)=\mathbb Q(i\sqrt 3).$$

Para que los campos son absolutamente idénticos? $\Phi_6$ se divide en $\mathbb Q (\zeta_3 )$ y viceversa?

Answer 1

Sí, porque $\Phi_6$ $\Phi_3$ son en realidad $x^2-x+1$ $x^2+x+1$ respectivamente. Por lo $\Bbb Q(\zeta_6)$ $\Bbb Q(\zeta_3)$ tienen grado $2$ $\Bbb Q$ y, desde una obviosly contiene las otras, que son la extensión de la misma.

Answer 2

Sugerencia: tenga en cuenta que $\zeta_6=\zeta_3+1$.

Answer 3

Fijar un entero impar $n > 2$. Si $\alpha$ es una primitiva $n$th raíz de la unidad entonces es fácil comprobar que $-\alpha$ es una primitiva $2n$th raíz de la unidad.

También para cualquier algebraicas número $\beta$ el número de campo generadas por $\beta$ $-\beta$ son uno y el mismo.

Ahora la respuesta a su pregunta puede ser deducida a partir de las declaraciones anteriores, que en sí son fáciles de comprobar.