Uso de los números complejos para demostrar que la composición de rotaciones es otro de rotación

Question

De ACOPS por Paul Zeitz, t4.2.30, una sección sobre los números complejos.

"Vamos a $R_a(\theta)$ denotar la transformación del plano en el que gira todo sobre el punto central $a$ $\theta$ radianes en sentido antihorario. Demostrar el hecho interesante de que la composición de $R_a(\theta)$ $R_b(\phi)$ es otro de rotación $R_c(\alpha)$. Encontrar $c,\alpha$ en términos de $a,b,\theta,\phi$."

He tratado de argumentar que el $R_a(\theta)$ mapas el punto de $z$ sobre el plano complejo a $z^\prime = e^{i\theta}(z-a)+a,$ y por lo tanto la composición de $R_a(\theta)$ $R_b(\phi)$ mapas de $z$ $z^\prime = e^{i\phi}(e^{i\theta}(z-a)+a-b)+b.$entonces he tratado de escribir esta expresión en la forma $e^{i(\phi+\theta)}(z-c)+c$ pero no han tenido éxito.

Answer 1

Usted necesita para resolver

$$e^{i\phi}(e^{i\theta}(z-a)+a-b)+b=e^{i(\phi+\theta)}(z-c)+c$$ for $c$.

Reordenando los términos, se obtiene

$$e^{i(\phi+\theta)}z+e^{i\phi}\left(\left(1-e^{i\theta}\right)a-b\right))+b=e^{i(\phi+\theta)}z+c\left(1-e^{i(\phi+\theta)}\right),$$

lo que valida la afirmación acerca de la composición y de los rendimientos

$$c=\frac{e^{i\phi}\left(\left(1-e^{i\theta}\right)a-b\right))+b}{1-e^{i(\phi+\theta)}}.$$

Answer 2

Sugerencia: Tratar de encontrar un punto fijo $c$ $$(R_b\circ R_a) (c) =c$$

que debe ser un centro de una nueva rotación. De todos modos, tienes razón sobre el ángulo de rotación, lo cual es bastante obvio a partir de la fórmula que se derivan.

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Si mis cálculos son correctos, debería ser $$c={{e^{i\phi}(ae^{i\theta}-a+b)-b.}\over e^{i(\phi+\theta)}-1 }$$