Arctangent integral que estoy teniendo dificultad en

Question

Pregunta: Demostrar que $$\int\limits_0^1 dx\,\frac {\arctan x}{\sqrt{x(1-x)}}=\pi\arctan\sqrt{\frac {\sqrt2-1}2}$$

Me resulta difícil saber qué hacer. He intentado hacer la sustitución $x=\frac {1-t}{1+t}$ pero eso no ayudó mucho porque el denominador es ligeramente diferente. Mi siguiente idea fue tratar de representar $\arctan x$ como una serie infinita $$\arctan x=\sum\limits_{n\geq1}\frac {(-1)^{n-1}x^n}n\sin\left(\frac {\pi n}2\right)$$ Pero viendo como el resultado es en términos de $\arctan(\cdot)$ Dudo que una serie infinita ayude mucho. Especialmente si el argumento es un radical anidado. ¿Quizás haya algún tipo de simetría oculta que se pueda explotar en este caso?

Answer 1

Tenemos $$ \int_{0}^{1}\frac{x^{2n+1}}{\sqrt{x(1-x)}}\,dx = \frac{\pi}{4^{2n}}\binom{4n}{2n}\frac{4n+1}{4n+2}$$ por lo que la integral dada es igual a $$ \frac{\pi}{2} \sum_{n\geq 0}\frac{(-1)^n}{4^{2n}}\binom{4n}{2n}\frac{4n+1}{(2n+1)^2} $$ donde por la función generadora de los números catalanes tenemos $$ \sum_{n\geq 0}\frac{1}{4^n}\binom{2n}{n}\frac{2n+1}{n+1}z^n = \frac{2}{z\sqrt{1-z}}-\frac{2}{z}\tag{A}$$ por lo tanto, por integración $$ \sum_{n\geq 0}\frac{1}{4^n}\binom{2n}{n}\frac{2n+1}{(n+1)^2}z^{n+1} = 4\log\left(\frac{2}{1+\sqrt{1-z}}\right)\tag{B}$$ y el resultado dado se puede demostrar evaluando $(B)$ en $z=\pm i$ con cierto cuidado en el manejo de las determinaciones del logaritmo complejo / raíz cuadrada. En una forma equivalente $$\int_{0}^{1}\frac{\arctan x}{\sqrt{x(1-x)}}\,dx = \pi\arctan\left(2^{1/4}\sin\tfrac{\pi}{8}\right).$$

Answer 2

Para un enfoque directo, utilice ese

$$\int_0^1 \frac{x\arccos(x)}{1+a x^2}\text{d}x=\frac{\pi}{2a}\log((1+\sqrt{1+a})/2),\tag{1}$$ ya que su integral es (por la integración por partes y un cambio de variable) $\displaystyle 4\int_0^1 \frac{x\arccos(x)}{1+x^4}\text{d}x$ .

$\textbf{Q.E.D.}$

NOTA: la integral en $(1)$ es sencillo con la integración por partes y D.U.I.S.

Answer 3

\begin{align} \int_0^1\frac{\arctan x}{\sqrt{x(1-x)}} \,dx &= \int_0^1\frac{1}{\sqrt{x(1-x)}}\left(x-\dfrac{x^3}{3}+\dfrac{x^5}{5}+\cdots\right)\,dx\\ &= \int_0^1 \left(x^\frac{1}{2}(1-x)^\frac{-1}{2}-\dfrac13x^\frac{5}{2}(1-x)^\frac{-1}{2} + \dfrac15x^\frac{9}{2}(1-x)^\frac{-1}{2}-\cdots\right)\,dx\\ &= \beta\left(\dfrac{3}{2},\dfrac{1}{2}\right) -\frac13\beta\left(\dfrac{7}{2},\dfrac{1}{2}\right)+\frac15\beta\left(\dfrac{11}{2},\dfrac{1}{2}\right)-\cdots\\ &= \pi\sum_{n=0}^{\infty}\dfrac{(-1)^n}{(2n+1)2^{4n+1}}{4n+1\choose2n+1} \end{align}