Este es mi primer post aquí. Me disculpo si esto va en contra de las directrices para la contabilización. Yo estudio matemáticas como un hobby y estoy tratando actualmente con la trigonometría en la escuela de alto nivel. Hasta ahora he aprendido las fórmulas trigonométricas de la suma y la resta y el doble del ángulo, así como lo es en mi idioma se conoce como el 'trigonométricas uno' - para obtener el radio del círculo unitario mediante el uso del teorema de pitágoras. Todavía no he llegado a derivar funciones trigonométricas. El siguiente es un problema que se podría solucionar mediante la conexión de un conjunto de números, sino en la búsqueda de una solución más elegante, tal vez, me encontré atrapado y no sé lo que me estoy perdiendo. Estoy agradecido de cualquier ayuda que recibe. El problema es el siguiente:
Mostrar que si $A$ es un ángulo y $0^\circ<A<90^\circ$ $\hspace{0.3cm}\left( 1+\dfrac {1}{\sin A}\right) \left( 1+\dfrac {1}{\cos A}\right)>5$
Empecé con el siguiente supuesto:
$$0^\circ<A<90^\circ\rightarrow0<{\sin A}<1\\0<{\cos A}<1\rightarrow\dfrac {1}{\sin A}\\\dfrac {1}{\cos A}>1$$
Dado lo anterior, se puede concluir que:
$$\begin{aligned} \lim _{A\rightarrow 90^\circ}\dfrac {1}{\cos A}&=\infty \\ \lim _{A\rightarrow 0^\circ}\dfrac {1}{\sin A}&=\infty \end{aligned}$$
Esto por sí solo no parece ser suficiente para mostrar lo que se le pide. Puedo mostrar que en $A=45^\circ$ el producto es aún mayor que 5, pero no estoy seguro de cómo cualquier desfase en grados desde allí afecta a dos trigonométricas en términos tales que el producto es todavía más de 5. También probé la solución de la desigualdad, pero terminó con fraccionado términos no pude agregar o una cúbicos función de si se quiere, que yo no podía resolver.
