Denotar la tercera raíz de la unidad como $w=e^{i2\pi/3}$.
A continuación, cualquiera de las cantidades $\rho=\{w,w^2,w^3=1\}\,$ satisfacer $\,\rho^3=1,\,$ es decir, es una raíz cúbica de uno.
Tenga en cuenta que la matriz de $X=A^3$ tiene un único autovalor de a $\{\lambda=1\}$ con multiplicidad dos.
Ya que es un $2\times 2$ matriz, cualquier analítica de la función de $X$ (y su primera derivada) puede ser escrita como lineal de los polinomios de
$$\eqalign{
f(X) &= \alpha_1X + \alpha_0I \cr
f'(X) &= \alpha_1I \cr
}$$
Evaluar el cubo de la raíz de la función en los valores propios para calcular el polinomio de coeficientes de
$$\eqalign{
\alpha_1\lambda + \alpha_0 &= \lambda^{1/3} &\implica \alpha_1+\alpha_0 &= \rho \cr
\alpha_1 &= \tfrac{1}{3}\lambda^{-2/3} &\implica \alpha_1 &= \tfrac{\rho}{3} \cr
}$$
La matriz de la raíz cúbica es, por tanto,
$$\eqalign{
A &= f(X) = \,\,\frac{\rho}{3}X + \frac{2\rho}{3}I \cr
}$$
y la matriz en cuestión es
$$\eqalign{
B &= A^2 + \cr
y= (\tfrac{\rho}{3}X + \tfrac{2\rho}{3}I)^2 + (\tfrac{\rho}{3}X + \tfrac{2\rho}{3}I) \cr
&= \tfrac{\rho^2}{9}(X^2+4X+4I) + \tfrac{\rho}{3}(X+2I) \cr
&= \frac{1}{9}\Big(\rho^2X^2+(4\rho^2+3\rho)X+(4\rho^2+6\rho)I\Big) \cr\cr
}$$
Esto nos da 3 posibles soluciones para el $B$ matriz:
Establecimiento $\rho=w^1=w\,$ rendimientos
$$B_1=\frac{1}{9}\Big(w^2X^2+(w^2-3)X+(2w-4)I\Big)$$
Establecimiento $\rho=w^2\,$ rendimientos
$$B_2=\frac{1}{9}\Big(wX^2+(w-3)X+(2w^2-4)I\Big)$$
Establecimiento $\rho=w^3=1\,$ rendimientos
$$B_3=\frac{1}{9}\Big(X^2+7X+10I\Big)$$
Algunas propiedades, peculiar a las raíces de la unidad, se utiliza para simplificar el final expresiones. Es decir,
$$\eqalign{
w &= w^4 \cr
0 y= 1+w+w^2 \cr
0 y= 1+w^2+w^4 \cr\cr
}$$
Curiosamente, estas propiedades también significa que $\,\,B_1 + B_2 + B_3 = 0.$
