Un subconjunto abierto $U$ de una variedad lisa hereda una estructura lisa (si $U_\alpha$ era un gráfico para el colector más grande, toma $U \cap U_\alpha$ para ser un gráfico del espacio más pequeño). Así que sí, $\Sigma^n \setminus \{p\}$ hereda una estructura suave, y sí, porque $\Bbb R^n$ tiene una estructura suave única en altas dimensiones, es difeomorfa a $\Bbb R^n$ . Esto da lugar a un bonito corolario (conocido mucho antes de esta pieza de la teoría del alisamiento): Toda esfera exótica puede ser definida por exactamente dos gráficos.
De hecho, toda esfera exótica puede definirse pegando dos esferas lisas estándar $n$ -discos $D^n$ a lo largo de su frontera, pero el difeomorfismo con el que identificamos $\partial D^n_1 \cong \partial D^n_2$ (nótese que ambas son esferas de la misma dimensión) pueden ser no estándar: se pegan por algún elección de difeomorfismo $\varphi: S^{n-1} \to S^{n-1}$ . El colector resultante no cambia si se modifica $\varphi$ por una homotopía (suave) a través de difeomorfismos, pero no está claro (de hecho, no es cierto) que todo difeomorfismo preservador de la orientación sea isotópico a la identidad.
Es un teorema de Cerf (esencialmente, el teorema de la pseudoisotopía) que, de hecho, en la dimensión $n \geq 6$ el grupo de clases de mapas suaves de difeomorfismos orientados de $S^{n-1}$ módulo de isotopía es isomorfo al grupo de exóticos oreados $n$ -Esferas.
En la dimensión 4, la exótica $\Bbb R^4$ s pueden dividirse de muchas maneras, pero lo relevante para su pregunta es si son o no "estándar en el infinito". Si $\mathcal R$ es una variedad suave homeomorfa a $\Bbb R^4$ y hay una incrustación suave $S^3 \hookrightarrow \mathcal R$ de manera que la componente no limitada de su complemento es difeomorfa a $(0, \infty) \times S^3 \cong \Bbb R^4 \setminus \{0\}$ entonces decimos que $\mathcal R$ es estándar en el infinito (o tiene un "suavizado cilíndrico final"). Si esto es cierto, podemos simplemente añadir una nueva carta alrededor del punto en el infinito para cocinar una estructura suave en la compactación de 1 punto; si $\mathcal R$ era exótica, también lo sería esta nueva esfera.
Así que la conjetura de Poincare es equivalente a encontrar exóticas $\Bbb R^4$ s con un alisado de extremo cilíndrico. Esto es, efectivamente, como se espera, muy abierto.
