mostrar esta desigualdad $ab+bc+ac+\sin{(a-1)}+\sin{(b-1)}+\sin{(c-1)}\ge 3$

Question

deje $a,b,c>0$ y tal $a+b+c=3abc$, muestran que $$ab+bc+ac+\sin{(a-1)}+\sin{(b-1)}+\sin{(c-1)}\ge 3$$ Propuesto por wang yong xi

desde $$\dfrac{1}{ab}+\dfrac{1}{bc}+\dfrac{1}{ac}=3$$ así que el uso de Cauchy-Schwarz desigualdad tenemos $$(ab+bc+ac)\left(\dfrac{1}{ab}+\dfrac{1}{bc}+\dfrac{1}{ac}\right)\ge 9$$ así tenemos $$ab+bc+ac\ge 3$$

Answer 1

Bien, creo que finalmente he conseguido una solución, pero se advirtió, no es particularmente bueno. En primer lugar, vamos a establecer el mínimo en $0<a,b,c\leq2$, (es decir,$a=b=c=1$) mediante el uso de multiplicadores de lagrange, entonces nos preocuparemos el caso en el que el número puede ser mayor que $2$. Así que, vamos a llamar a nuestra función de limitación $$g(a,b,c)=a+b+c-3abc$$ $$\nabla g(a,b,c) = [1-3bc,1-3ca,1-3ab]$$ Y nuestra función para ser minimizado $$f(a,b,c)=ab+bc+ca+\sin(a-1)+\sin(b-1)+\sin(c-1)$$ $$\nabla f(a,b,c) = [b+c+\cos(a-1),c+a+\cos(b-1),a+b+\cos(c-1)]$$ Ahora, utilizando multiplicadores de lagrange se puede escribir $$\lambda (1-3bc)=b+c+\cos(a-1)$$ y así sucesivamente, pero para hacer las cosas más sencillas y simétricas, vamos a hacer una nueva variable $k=a+b+c=3abc\geq 3$, de modo que podemos escribir en su lugar $$\lambda =h(a)=\frac{k-a+\cos(a-1)}{1-\frac{k}{a}}=-a+\frac{\cos(a-1)}{1-\frac{k}{a}}$$ Tenga en cuenta que podemos escribir $\lambda$ de esta manera la sustitución de $a$ $b$ o $c$ como es agradable y simétrico. Con el fin de mostrar que no hay una única solución que se me ocurrió el siguiente argumento (que es la única vagamente interesante de toda esta prueba, por lo que dejar de leer después de esto si usted no quiere ser molestado con el resto de este lío). Si $h(a)$ es estrictamente una disminución (o aumento) de la función sobre nuestro intervalo de $0<a\leq2$, a continuación, en orden de $\lambda$ a ser constante, debemos tener $a=b=c$, y si $a=b=c$, luego tenemos a $a+a+a=3aaa$ con la única solución positiva de ser $a=b=c=1$ dar $f(a,b,c)=3$ como mínimo local.

DESORDENADO PARTE Ahora de demostrar que $h(x)$ es, de hecho, estrictamente decreciente sobre nuestro intervalo de $(0,2]$, así que vamos a tomar la derivada! Queremos $$0>h'(x)=-1+\frac{-(1-\frac{k}{a})\sin(a-1)-\cos(a-1)\frac{k}{a^2}}{(1-\frac{k}{a})^2}$$ Esta desigualdad es implícita por $$0>(ka-a^2)\sin(a-1) - k\cos(a-1) - (k-a)^2$$ que es a su vez implica por $$0>(k-a)a\sin(1)-k\cos(1) - (k-a)^2$$ desde $\sin(1)$ es el máximo de $\sin(a-1)$ $\cos(1)$ es el máximo de $-\cos(a-1)$ sobre el intervalo de $a \in (0,2]$ Ahora esta expresión es estrictamente creciente en el intervalo desde $$0<(k-2a)\sin(1)-2a+2k$$ porque $$0<-1-4+6 < (3-4)\sin(1)-4+6$$

Así que nuestro máximo se encuentra en $a=2$, y cuando comprobamos que en contra de nuestra anterior desigualdad, obtenemos $$0>(2k-4)\sin(1)-k\cos(1) - (k-2)^2$$ Y esta función es estrictamente decreciente para $k>3$ desde $$0\geq 2+4-2 \cdot 3 - 0 > 2\sin(1)+4-2k - \cos(1)$$ y si sustituimos en $k=3$ obtenemos una verdadera desigualdad, que es $$0>(2 \cdot 3-4)\sin(1)-3\cos(1)- (3-2)^2$$ Esto puede ser fácilmente demostrado por delimitador $\sin(1)$$\cos(1)$, con una breve expansión de Taylor, es decir, $\sin(1)=1$ (que termina en un resultado positivo para el límite superior) y $\cos(1)=1-\frac{1}{2}$ (que termina en un negativo para el límite inferior). Así, obtenemos $$0>2 - 3 \frac{1}{2} - 1$$ Por lo tanto nuestra desigualdad original de titular, y el único extremo es $a=b=c=1$ $0<a,b,c<2$

Y ahora debemos comprobar el límite de los casos. Tenga en cuenta que esta función y la restricción es completamente simétrica, por lo que solo necesitamos comprobar si $c=2$. La reescritura de la desigualdad a la que ahora debemos demostrar $$ab+2(a+b)+\sin(a-1)+\sin(b-1)+\sin(1)>3$$ con las limitaciones de la $a+b+2=6ab$ $a,b \leq 2$

Podemos reescribir la primera restricción, como $b = \frac{a+2}{6a-1} = 1/6 + \frac{2+1/6}{6a-1}$ y ahora nos podemos refinar la restricción en $a$ $b$ ya que sabemos que esta función de $a$ es la disminución de $a>1/6$, por lo que sabemos el valor más bajo de $b$ (y por lo tanto $a$) es al $a=2$, por lo que también tiene $a,b \geq \frac{4}{11}$ Ahora el mínimo de$ab+2(a+b)=\frac{1}{3}+\frac{13}{6}(a+\frac{1}{6} + \frac{13/6}{6a-1})$, por lo que realmente sólo $a+b$ puede encontrar tomando la derivada de nuevo. Haciendo así, obtenemos $$D_a(a+\frac{1}{3}+\frac{13/6}{6a-1})=1-\frac{13}{(6a-1)^2}$$ Y la configuración es igual a $0$ obtenemos la solución $a=b=\frac{1+\sqrt{13}}{6}$. Ahora para $a>\frac{1+\sqrt{13}}{6}$, ya que el $6a-1$ es claramente creciente, $D_a$ serán positivas, y ya que este es simétrica, esto significa que $a=b=\frac{1+\sqrt{13}}{6}$ debe ser el mínimo.

Ahora que tenemos esto, vamos a conectarlo! Al hacerlo obtenemos nuestros mínimo para ser $$(2+\frac{1}{6})(2\frac{1+\sqrt{13}}{6})+\frac{1}{3}>\frac{13}{6} \cdot \frac{1+3.6}{3}+\frac{1}{3}=\frac{13 \cdot 23 + 30}{90} = \frac{329}{90} = 3 + \frac{59}{90} $$ Y ahora nos los límites de $a$ a tomar en el peor de los casos-escenario para la sinusoidal parte de la expresión $$2\sin(\frac{4}{11}-1)+\sin(1) > -\frac{10}{11}+1-\frac{1}{6} > -\frac{12-11-2}{12}=-\frac{1}{12}$$ Y ahora hemos demostrado que la desigualdad en torno a las regiones de frontera, desde el $\frac{59}{90}>\frac{1}{12}$

Ahora que se hace, en una vena similar podemos mostrar esto para nuestro primer intervalo de $2<c \leq 3$. En primer lugar, asumimos WLOG que $c \geq a,b$ y ahora podemos establecer nuevos límites para $a$ $b$ por nuestro restricción $b = \frac{a+c}{3ca-1}$ conseguir $\frac{2c}{3c^2-1} \leq a,b \leq c$. Tenga en cuenta que este mínimo es estrictamente decreciente para $c>2$ ya que el denominador aumenta mucho más rápido que el numerador, por lo que el punto más bajo encontramos en $c=3$, y que es $\frac{3}{13}$. Ahora vamos a volver a encontrar el mínimo de nuestra expresión $a+b$ usando la derivada de nuevo desde $$D_a \left(a+\frac{1}{3}+\frac{c+\frac{1}{3c}}{3ca-1}\right)=1-\frac{3c^2+1}{(3ca-1)^2}$$ Y la configuración es igual a $0$ nuevo tenemos la solución $a=b=\frac{1+\sqrt{1+3c^2}}{3c}$. Este es de nuevo el mínimo porque de $3ca-1$ es creciente, $D_a$ será positivo para $a>\frac{1+\sqrt{1+3c^2}}{3c}$, y la función es todavía simétrica. El mínimo de $ab+c(a+b)=(c+\frac{1}{3c})(a+b)$ es así $$s(c) = \left(c+\frac{1}{3c}\right)\left(2\frac{\frac{1}{c}+\sqrt{\frac{1}{c^2}+3}}{3}\right)+\frac{1}{3}$$ Tenga en cuenta que esta $s(x)$ es el aumento de $c>2$ desde $$D_c (s(c)) = \frac{2}{3}\left(1-\frac{1}{3c^2}\right)\left(\frac{1}{c} + \frac{2}{3}\sqrt{\frac{1}{c^2}+3}\right) - \left(c+\frac{1}{3c}\right)\left(\frac{1}{c^2}+\frac{1}{c^3} \frac{1}{\sqrt{\frac{1}{c^2}+3}}\right) > 0 $$ $$\iff \left(c^2-\frac{1}{3}\right)\left(1+\sqrt{1+3c^2}\right)-\left(c^2+\frac{1}{3}\right)\left(1+\frac{1}{\sqrt{1+3c^2}}\right)>0$$ $$\iff -\frac{2}{3}+c^2\left(\sqrt{1+3c^2}-\frac{1}{\sqrt{1+3c^2}}\right)-\frac{1}{3}\left(\sqrt{1+3c^2}+\frac{1}{\sqrt{1+3c^2}}\right) > 0$$ Y desde $c>2$, esto es implícita por $$-\frac{2}{3}+c^2\left(\sqrt{1+3c^2}-\frac{1}{3}\right)-\frac{1}{3}\left(\sqrt{1+3c^2}+\frac{1}{3}\right) > 0$$ $$\iff -\frac{8}{9}+\left(c^2-\frac{1}{3}\right)\left(\sqrt{1+3c^2}-\frac{1}{3}\right) > 0$$ Y ahora, ya que por fin tenemos dos funciones crecientes multiplicados juntos, podemos reemplazar cada uno con su valor más bajo para probar la desigualdad. Por lo tanto desde $$\left(4-\frac{1}{3}\right)\left(\sqrt{13}-\frac{1}{3}\right)-\frac{8}{9}>0$$ $s(c)$ es cada vez mayor.

Ahora hemos demostrado que la $s(c)$ está en aumento y que el mínimo de $a,b$, por lo que el mínimo de $\sin(a-1)$ desde $0<a<3$. Para probar esto de la desigualdad de la $2<c<3$, todo lo que queda por hacer es conectar nuestro peor de los casos. Así que tenemos que mostrar $$s(2)-2\sin(\frac{3}{13}-1)+\sin(1)>3$$ Desde $\sin(1)$ es el mínimo de $\sin(c-1)$$2<c \leq 3$. Ya hemos calculado $s(2)$, por lo que ahora vamos a utilizar un par de expansiones de taylor para obtener que esta desigualdad es implícita por $$3+\frac{59}{90}-2\left(\frac{10}{13}-\frac{\left(\frac{10}{13}\right)^3}{3!}+\frac{\left(\frac{10}{13}\right)^5}{5!}\right)+1-\frac{1}{6} > 3$$ Que puedes hacer por ti mismo si quieres. En este punto voy a dejar de hacer estos cálculos, ya que hacen que la respuesta tedioso y largo.

Para nuestro próximo intervalo de $3<c<1 + \pi$ podemos usar un mejor obligado para el mínimo y el máximo de $a,b$ desde el si $ab+c(a+b)>5$, entonces se sigue que $$ab+c(a+b) + \sin(a-1)+ \sin(b-1) + \sin(c-1) > 5 - 1 - 1 + 0 = 3$$. So all cases where $ab+c(a+b)>5$ son tenidos en cuenta y este imponente, al menos, el máximo $a,b<a+b<\frac{5}{c}$, y esto implica el mínimo de $a,b>\frac{2(5/c)}{3c(5/c)-1}=\frac{5}{7c}$. Tenga en cuenta que esta función es todavía una disminución de uno y ahora tenemos en el intervalo de $3<c<1+\pi<\frac{7+22}{7}$ que $a,b > \frac{5}{29}$. Con esto, podemos ahora demostrar que la desigualdad mostrando $$3 < ab+c(a+b) + \sin(a-1) + \sin(b-1) + \sin(c-1) < s(3) + 2\sin(5/29-1) < s(3) -48/29 \approx 3.02784 $$ Y esto puede ser trivialmente se muestra por la delimitación $s(3)$.

Intervalo siguiente: $1+\pi < c < 1 + \pi + 1$. Ya no podemos utilizar el obligado desde el anterior problema, pero podemos en este punto acaba de decir $$s(1+\pi) + \sin(a-1)+\sin(b-1)+\sin(c-1) > s(4) -3\sin(1) \approx 3.25 > 3$$ Esto puede volver a hacerse fácilmente utilizando una rápida expansión de taylor, y que $s(4)=\frac{52}{9}$

Finalmente, para nuestro intervalo de $c>2+\pi$ finalmente tenemos $s(2+\pi)>6$, por lo que estamos por hacer.

Nota: Hay probablemente al menos un error aquí, dada la longitud, así que siéntase libre de dejar comentarios.

Answer 2

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Answer 3

Creo que se puede demostrar esto con la condición :

$$\tan(a)+\tan(b)+\tan(c)=\tan(a)\tan(b)\tan(c)$$ Y

$$a+b+c=\pi$$ with $$\tan(a)>0,\tan(b)>0,\tan(c)>0$$

$$3\tan(a)\tan(b)+3\tan(b)\tan(c)+3\tan(a)\tan(c)+\sin{(\sqrt{3}\tan(a)-1)}+\sin{(\sqrt{3}\tan(b)-1)}+\sin{(\sqrt{3}\tan(c)-1)}\ge \frac{ln(\frac{abc}{\sin(a)\sin(b)\sin(c)})}{\ln({\frac{2\pi}{3\sqrt{3}}})} \ge 3$$

Yo no puedo demostrar esto, pero tal vez alguien podría hacer eso .

Ps:me siento inspirado por la Abi-Khuzam la desigualdad

Answer 4

Deje $(a_0,b_0,c_0)$ ser un punto mínimo la satisfacción de la restricción, por lo que se $(b_0,c_0,a_0)$$(c_0,a_0,b_0)$, por tanto, de la simetría, por lo que será cualquier combinación lineal de estos tres puntos de la satisfacción de la restricción (por qué?) incluyendo $\dfrac{1}{3}(a_0,b_0,c_0)+\dfrac{1}{3}(c_0,a_0,b_0)+\dfrac{1}{3}(c_0,b_0,a_0)=(u,u,u)$. Sustituyendo esto en la restricción de los rendimientos que $u=1$ $(1,1,1)$ es un punto mínimo para que la desigualdad se cumple con la igualdad.