¿Qué objetos matemáticos permiten «puesta de límites»?

Question

De fondo

He estado leyendo un montón de álgebra abstracta recientemente (en el nivel de Artin/Dummit & Foote/Herstein Temas de Álgebra para aquellos de ustedes que estén familiarizados con estos libros). He notado que muchos de los objetos abstractos como los grupos y anillos carecen de una cierta propiedad en general. Es decir, no podemos "tomar límites" en estos valores en general (al menos, yo no sé cómo definir tal cosa).

Pregunta

¿Cuál es la propiedad de los campos como los reales que nos permite "tomar un límite" que campos como la $\mathbb{Z}/7\mathbb{Z}$ falta?

Answer 1

Muchas categorías son completos o cocomplete, lo que significa que usted puede tomar límites o colimits de diagramas en su categoría. Cada categoría de estructuras algebraicas de un tipo determinado es completa y cocomplete. Por ejemplo:

1. El anillo de $p$-ádico números de $\mathbb{Z}_p$ es el límite de los anillos $\mathbb{Z}/p^n$ donde $n \geq 0$
2. El grupo $\mathbb{Q}/\mathbb{Z}$ es el colimit de lo finito cíclico grupos $\mathbb{Z}/n$ donde $n>0$ w.r.t. a la divisibilidad.
3. Si $E/K$ es una extensión de Galois, entonces es el colimit de la finita de Galois extensiones $E'/K$ donde $E' \subseteq E$, y para los correspondientes grupos de Galois esto implica que $\mathrm{Gal}(E/K)$ es el límite de los grupos finitos $\mathrm{Gal}(E'/K)$, por lo tanto es un profinite grupo.
4. Si $R$ es un anillo, el colimit de los grupos $\mathrm{GL}_n(R)$, donde los mapas de transición se $A \mapsto \mathrm{diag}(A,1)$, es igual a $\mathrm{GL}(R)$, el grupo de infinitas matrices que son las señas de identidad hasta un número finito de entradas. Este grupo es importante en la K-teoría.
5. Uno puede mostrar que los límites en espacios topológicos son casos especiales de los límites en el sentido de la categoría de teoría. Ver MO/9951.

Pero, a menudo, uno también quiere tomar límites de secuencias (o mallas o filtros) en su favorito algebraicas objeto. Esto es posible para topológica de estructuras algebraicas. Los ejemplos más importantes son topológicos, grupos topológicos de los anillos, álgebras de Banach, y C*-álgebras. Por ejemplo, tenemos $p^n \to 0$$\mathbb{Z}_p$, e $x^n \to 0$$\mathbb{Z}[[x]]$. Para obtener más información, consulte álgebra topológica y las referencias que allí se indican.

Cada conjunto puede ser equipado con la topología discreta, lo que significa que una secuencia converge iff se convierte eventualmente constante. Esta es la costumbre de la topología de uno se pone en los grupos finitos.

Answer 2

Vale la pena tener en cuenta que estamos realmente puede Tomar límites de $\mathbb Z / 7 \mathbb Z$ (con la topología discreta).

Visto de esta manera, para una secuencia de números ${ sn }$, $\lim{n \to \infty} s_n = s$ si $s_n = s$ para todos sino finito muchos $n$.

Esto satisface una noción de límite, sino la noción estándar de "límite" en $\mathbb R$ tiene propiedades mucho más bonito y mucho más interesantes, por supuesto.

Answer 3

En primer lugar necesitamos un concepto de arbitrariamente cerca de los puntos, en cuanto a la vecindad de un punto. Así que tenemos que definir una topología.

Si desea que la unicidad del límite (si existe (solo piensa en $\lbrace \frac{1}{n} \rbrace_n$ $(0,1)$ necesita comprobar que tiene la propiedad de Hausdorff de separación para el espacio.