¿Por qué $\sin(0)$ ¿Existe?

Question

No puedo entender por qué debería $\sin(0)$ existen, porque si un ángulo es $0^{\circ}$ entonces el triángulo no existe, es decir, no hay perpendicular ni hipotenusa. Sin embargo, si tomamos $\lim_{x \to 0} \sin(x)$ Entonces puedo entender $$\lim_{x \to 0} \sin(x) = 0$$ ya que la perpendicularidad $\approx$ 0.
Así que aunque $\lim_{x \to 0} \sin(x)$ es $0$ No puedo entender cómo $\sin(0)=0$ y si $\sin(0)$ no está definida, entonces por qué la gráfica de $\sin(x)$ ¿constantemente?

Answer 1

Funciones trigonométricas $\sin, \cos,..$ se definen primero mediante triángulos, pero se generalizan definiéndolos en el círculo unitario y utilizando números negativos.

$\sin\left ({3\pi\over 2} \right )=-1$ pero la relación de dos longitudes no puede ser $-1$ . (Creo que es más interesante para $\sin(x) $ ser negativo en lugar de ser $0$ cuando consideramos los triángulos)

Pero esto ocurre en casi todas las áreas de las matemáticas (la generalización de las funciones, las definiciones...)

Como ejemplo piense en la expresión $2^n$ . Se había utilizado para " $n$ veces multiplica por $2$ ".

$2^3=2\cdot 2\cdot 2=8$ pero ¿cuál es el significado de $2^{1\over 2}$ o $2^{-1}$ . Ahora sí que los utilizamos todos, $2^x$ se define para todos los $x\in \mathbb R$ .

Espero que lo que quiero decir esté claro.

Answer 2

No hay ningún triángulo con un ángulo de $3 \pi / 2$ o $2 \pi$ pero, sin embargo, definimos $\sin(3 \pi / 2) = -1$ y $\sin(2\pi) = 0$ .

Esencialmente, queremos generalizar el seno de un ángulo entre $0$ y $\pi / 2$ a un seno de cualquier ángulo. Para ello utilizamos el círculo unitario: $\sin$ es el $y$ -coordinar y $\cos$ es el $x$ -coordenada. Esto coincide con la definición original de $\sin$ en el intervalo $0$ a $\pi / 2$ utilizando triángulos.

Answer 3

Los triángulos pueden ser una motivación para las funciones trigonométricas, pero en realidad no están definidas en base a triángulos. Hay muchas formas equivalentes de definirlas, por ejemplo, se definen fácilmente utilizando una serie de potencias, que no tendrá ningún problema con sen (0).

Hay muchos usos que no están relacionados con los triángulos: Por ejemplo, los gráficos 3D en los que las rotaciones se calculan mediante funciones trigonométricas: Sería absurdo definir el seno y el coseno de forma que la rotación por cero grados necesite un tratamiento especial o no funcione. Si calculas dónde está el final del dígito de los segundos de tu reloj dependiendo de la hora, no tiene sentido definir la función seno de forma que el cálculo no funcione una o dos veces por minuto. Luego hay aplicaciones como la FFT en las que se utilizan mucho el seno y el coseno, sin que intervenga la geometría en absoluto.

Answer 4

No veo por qué tendrías que tomar $\lim_{x \to 0} \sin(x)$ . Me gustaría argumentar que todo segmento de línea es un triángulo (degenerado). Así que con la definición de $\text{sin} = \frac{\text{perpendicular}}{\text{hypotenuse}}$ obtenemos $\sin(0) = \frac{0}{\text{hypotenuse}} = 0.$

Un razonamiento similar puede aplicarse a $\sin{90^{\circ}}$ , $\cos{0^{\circ}}$ , $\cos{90^{\circ}}$ y así sucesivamente.

Answer 5

Si se utilizan triángulos rectos para definir las funciones trigonométricas, no se puede dar inmediatamente un sentido a $\sin 0$ , $\cos0$ , $\sin\frac{\pi}{2}$ o $\cos\frac{\pi}{2}$ (limitémonos a los ángulos en $[0,\frac{\pi}{2}]$ por el momento).

Para los triángulos agudos conocemos la ley de los cosenos $$ a^2=b^2+c^2-2bc\cos\alpha $$ donde $a$ , $b$ , $c$ son las longitudes de los lados y $\alpha$ es el ángulo opuesto a $a$ . Esta ley se reduce al teorema de Pitágoras si $\alpha$ es un triángulo rectángulo, por lo que es natural definir $$ \cos\frac{\pi}{2}=0 $$ para extender la ley de los cosenos también a ese caso. Pero para los ángulos agudos ya sabemos que $$ \sin\left(\frac{\pi}{2}-\alpha\right)=\cos\alpha $$ por lo que, si queremos preservar esta identidad tienen para definir $\sin0=\cos\frac{\pi}{2}=0$ .

Del mismo modo, la ley de los senos dice $$ \frac{a}{\sin\alpha}=\frac{b}{\sin\beta}=\frac{c}{\sin\gamma}=2R $$ donde $\beta$ se opone a $b$ , $\gamma$ se opone a $c$ y $R$ es el radio del círculo circunscrito. Si queremos que esto sea válido también para un triángulo rectángulo, debemos establecer $\sin\frac{\pi}{2}=1$ y así también $\cos0=1$ .

Sin embargo, estas consideraciones quedan superadas por una definición diferente de las funciones trigonométricas. Consideremos la circunferencia con centro en el origen y radio $1$ en un sistema de referencia cartesiano ortogonal. Si dibujamos la semirrecta que forma el ángulo $\alpha$ con el positivo $x$ -eje, entonces, por definición , $\cos\alpha$ y $\sin\alpha$ son, respectivamente, el $x$ -y el $y$ -coordenada de la intersección entre la semirrecta y el círculo.

Con esta definición, $\sin0=0$ y $\cos0=1$ son evidentes.