Dejemos que $P(x)=ax^{2014}-bx^{2015}+1$ y $Q(x)=x^2-2x+1$ tal que $Q(x)|P(x)$ , encontrar $a+b$

Question

Dejemos que $P(x)=ax^{2014}-bx^{2015}+1$ y $Q(x)=x^2-2x+1$ sean los polinomios donde $a$ y $b$ son números reales. Si el polinomio $P$ es divisible por $Q$ ¿Cuál es el valor de $a+b$ .

Esto es lo que he probado hasta ahora: Desde $Q(x)|P(x)$ tenemos $P(1)=0$ Por lo tanto $a-b+1=0$ . El problema es que no podemos obtener el sistema de ecuaciones, porque el polinomio $Q(x)$ tiene doble raíz en $x=1$ . De la ecuación $a-b+1$ no podemos encontrar $a+b$ Así que, ¿cómo averiguar el valor de $a+b$ o $a^2-b^2$ ?

Answer 1

Tenga en cuenta que $Q(x) = (x-1)^2$ lo que significa que $(x-1) \mid P(x)$ y $(x-1) \mid P'(x)$ . En otras palabras $x=1$ es un cero de ambos $P(x)$ y $P'(x)$ . Así que después de todo te queda resolver el sistema de ecuación lineal:

$$\begin{cases} a-b+1 = 0 \\ 2014a - 2015b = 0 \end{cases}$$

Es fácil concluir que $a=-2015$ y $b=-2014$

Answer 2

Desde $Q$ divide $P$ tenemos que $x-1$ divide $P$ dos veces. Por lo tanto, $1$ es una raíz de $P$ y de su derivado $P'(x)=2014ax^{2013}$ . Así que $a-b^{2015}+1=0$ y $2014a=0$ . Ahora podemos resolver para obtener $a=0$ pero en ese caso $Q$ no puede dividir $P$ ya que $P$ tiene grado $0$ .

Si realmente tenemos $P(x)=ax^{2015}-bx^{2014}+1$ entonces su derivada es $2015ax^{2014}-2014bx^{2013}$ y obtenemos en su lugar el sistema $a-b+1=0, \, 2015a-2014b=0.$