Demuestra que esta función define una norma en $\mathbb{R}^2$.

Question

Sea $\| \;\|:\mathbb{R}^2\rightarrow\mathbb{R}$ una función tal que $ \| (x,y)\|=\sqrt{|x|^2+|y|^2}$ para todo $(x,y)\in\mathbb{R}^2$.

Necesito demostrar que $\|\;\|$ define una norma. Me gustaría una pista para probar que $\parallel \; \parallel$ satisface la desigualdad triangular:

$ \sqrt{|x_1+x_2|^2+|y_1+y_2|^2}\leq \sqrt{|x_1|^2+|y_1|^2}+\sqrt{|x_2|^2+|y_2|^2}$

¡Gracias!

Answer 1

Sea $x, y\in \mathbb{R}^2$. Entonces

\begin{align} \|x+y\|^2&=\langle x+y, x+y\rangle\\&=\langle x, x\rangle + 2\langle x, y\rangle+\langle y, y\rangle \\ &\le \{\text{Desigualdad de Cauchy-Schwarz}\} \\&\le \|x\|^2+2\|x\|\|y\|+\|y\|^2 \\ &=(\|x\|+\|y\|)^2, \end{align} lo cual es tu resultado.

Answer 2

Puedes hacerlo directamente, para $\mathbb{R}^2$; se vuelve realmente complicado en dimensiones superiores, donde la desigualdad de Cauchy-Schwarz es el mejor enfoque.

Elevar al cuadrado tu desigualdad: puedes hacerlo porque ambos términos son no negativos. También puedes quitar los valores absolutos, porque $(-a)^2=a^2$. Así que tu desigualdad es equivalente a $$ (x_1+x_2)^2+(y_1+y_2)^2\leq x_1^2+y_1^2+x_2^2+y_2^2 +2\sqrt{(x_1^2+y_1^2)(x_2^2+y_2^2)}. $$ Expande los términos y obtienes, después de reorganizar términos, $$ 2(x_1x_2+y_1y_2)\le+2\sqrt{(x_1^2+y_1^2)(x_2^2+y_2^2)} $$ que obviamente se cumple cuando $x_1x_2+y_1y_2<0$. Así que procedemos bajo el supuesto adicional de que $x_1x_2+y_1y_2\ge0$, por lo que la desigualdad es equivalente a la que obtenemos al elevar al cuadrado (primero elimina el factor común $2$): $$ (x_1x_2+y_1y_2)^2\le(x_1^2+y_1^2)(x_2^2+y_2^2) $$ Expande los términos $$ x_1^2x_2^2+2x_1x_2y_1y_2+y_1^2y_2^2\le x_1^2x_2^2+x_1^2y_2^2+x_2^2y_1^2+y_1^2y_2^2 $$ y transporta todos los términos al lado derecho $$ 0\le x_1^2y_2^2-2x_1x_2y_1y_2+x_2^2y_1^2 $$ lo cual se puede escribir como $$ 0\le (x_1y_2-x_2y_1)^2 $$ que ciertamente es verdadero.