Ayuda con componentes irreducibles

Question

Quiero encontrar las componentes irreducibles del conjunto algebraico $Y$ , en $\mathbb{A}^{3}$ dado por el lugar cero de las ecuaciones $x^{2}-yz$ y $xz-z$ . También quiero calcular la dimensión de $Y$ .

Bueno, si $xz-z=0$ puis $x=1$ o $z=0$ . Si $z=0$ puis $x=0$ por lo que obtenemos el $y-axis$ . Ahora bien $x=1$ puis $yz-1=0$ por lo tanto:

$Y = V_{1}(x,z) \cup V_{2}(x-1,yz-1)$ . (Aquí $V_{i}$ denota el conjunto de locus).

Ahora $k[x,y,z]/(x,z) \cong k[y]$ así que $V_{1}(x,z)$ es irreducible porque $k[y]$ es un dominio integral.

Estoy atascado en mostrar $V_{2}(x-1,yz-1)$ es irreducible.

¿Puede ayudarnos, por favor? (En general, ¿cómo se calcula la dimensión?)

Answer 1

Tenemos que $k[V_2]=k[x,y,z]/(x-1,yz-1)\cong k[y,z]/(yz-1)$ . Puede demostrar que el mapa de $V_2$ a $\mathbb{A}^1-\{0\}$ definido por $(x,y,z)\mapsto y$ es un isomorfismo demostrando que el correspondiente morfismo de anillos de coordenadas $k[\mathbb{A}^1-\{0\}]=k[y,y^{-1}]\rightarrow k[y,z]/(yz-1)$ (es decir, el morfismo definido por $y\mapsto y$ , $y^{-1}\mapsto z$ ) es un isomorfismo. Porque $\mathbb{A}^1-\{0\}$ es un conjunto abierto no vacío del conjunto irreducible $\mathbb{A}^1$ también es irreducible, y por tanto $V_2$ también es irreducible.

Creo que esto puede ser un poco indirecto, pero creo que funciona.

La dimensión de $Y$ es 1, porque una cadena de longitud máxima de subconjuntos irreducibles de $Y$ comenzará en cualquiera de sus componentes irreducibles, cada una de las cuales es de dimensión 1. Las componentes irreducibles son una recta, que es claramente de dimensión 1 (además: su anillo de coordenadas es $k[y]$ que es un anillo de dimensión 1), y una hipérbola $yz-1$ que (como demostramos anteriormente) es isomorfo a $\mathbb{A}^1-\{0\}$ y por la Proposición 1.10 en Hartshorne, $\dim(Y)=\dim(\overline{Y})$ para cualquier variedad cuasi-afín $Y$ .

A menudo me resulta útil tratar de visualizar lo que está pasando - aquí está el resultado de Mathematica. Los dos planos son el lugar cero de $xz-z$ y el cono es el lugar cero de $x^2-yz$ - su intersección es, como era de esperar, el $y$ -y una hipérbola que se encuentra en el plano $x=1$ .