¿Cómo construir secuencias por inducción?

Question

Si $(u_{n})_{n\in\mathbb{N}}$ es una secuencia arbitraria de reales. ¿Cómo empiezo a construir, por inducción, dos secuencias reales $(a_{n})$ y $(b_{n})$ de forma que se cumplan estos criterios:

• $(a_{n})$ aumenta
• $(b_{n})$ es decreciente
• para todo n $\in \mathbb{N}, a_{n} < b_{n}$
• la secuencia $(b_{n} - a_{n})$ converge a 0.
• $u_{n} \notin [a_{n}, b_{n}]$

Answer 1

Sea $(u_{n})_{n\in\mathbb{N}}$ sea una secuencia fija, wlog se puede suponer $u_1$ sea positivo (si es negativo se puede hacer el mismo argumento que a continuación, si es 0 se puede tomar $a_1=1$ y $b_1=2$ ). Primera etapa: elegir $a_{1}=\frac{u_1}{4}$ y $b_1=\frac{u_1}{2}$ . Ahora $a_{1}<b_{1}$ y $u_{1} \notin [a_{1}, b_{1}]$ . Supongamos que ha construido $a_n$ y $b_n$ cumpliendo los supuestos. Ahora $u_{n+1}$ puede estar en $[a_n,\frac{a_n+b_n}{2}]$ o en $[\frac{a_n+b_n}{2},b_n]$ (si está fuera $[a_n,b_n]$ puedes tomar $a_{n+1}=a_n+\frac{b_{n}-a_{n}}{2^{10}}$ y $b_{n+1}=b_n-\frac{b_{n}-a_{n}}{2^{10}}$ ). Supongamos que $u_{n+1}\in[a_n,\frac{a_n+b_n}{2}]$ (el otro caso es similar), se toma $a_{n+1}=\frac{a_n+b_n}{2}+\frac{b_{n}-a_{n}}{2^{10}}$ y $b_{n+1}=b_n-\frac{b_{n}-a_{n}}{2^{10}}$ Hay que comprobar que esta elección de $a_{n+1}$ y $b_{n+1}$ satisface sus suposiciones y utilice el teorema del intervalo anidado para la convergencia de las secuencias $(a_n)$ y $(b_n)$ .

Answer 2

Tomemos un intervalo inicial arbitrario $a_0<b_0$ . Si este intervalo contiene $u_0$ recortarlo por un lado manteniendo uno de $\left[\dfrac{u_0+b_0}2,b_0\right]$ o $\left[a_0,\dfrac{a_0+u_0}2\right]$ .

Reduzca este intervalo, por ejemplo con $a_1=\dfrac{2a_0+b_0}3,b_1=\dfrac{a_0+2b_0}3$ . Si el nuevo intervalo contiene $u_1$ recortarlo por un lado manteniendo uno de $\left[\dfrac{u_1+b_1}2,b_1\right]$ o $\left[a_1,\dfrac{a_1+u_1}2\right]$ .

Y así sucesivamente.

Puede comprobar fácilmente que esos intervalos no están vacíos, están anidados, no contienen los respectivos $u_n$ y su tamaño converge a $0$ .

Answer 3

Dado que el conjunto $(u_n)$ es contable existe un $x$ tal que $x\neq u_n$$ \para todos n $. Therefore for every $ n $ we can choose the interval $ [a_n,b_n] $ so that $ x\in[a_n,b_n] $, $ u_nnotin[a_n,b_n] $ and to addition $ [a_n,b_n]\subset[a_{n-1},b_{n-1}],n\ge2 $. Then $ (a_n),(b_n)$ son secuencias requeridas.