Hola estoy buscando en la parte 3 de la prueba en Evans Capítulo 6. Me cuesta comprender "Además de (6) y (7) vemos que $(\lambda_k^{-1/2} w_k)$ es un ortonormales subconjunto de $H_0^1(U)$. Es conocido, a partir de los resultados anteriores de este capítulo, $(w_k)_{k=1}^{\infty}$ es un ortonormales base de $L^2(U)$, $w_k\in H_0^1(U)$ es un eigenfunction correspondiente a $\lambda_k.$
La forma bilineal se define como $$ B[u,v]:=\int_{U} a^{ij} D^j u D^i v+b^i D^i u v+cuv .$$ Given $$ u es una solución débil, el siguiente tiene también para el autovalor problema $$ B[u,v]=(\lambda u,v)\,\,\,\forall\,\,\,v\in H_0^1(U)$$ Entiendo que esto es realmente una cuestión de comprobación de la definición. Mi confusiones dos veces. No veo, por el buceo $w_k$ $\lambda_k^{1/2},$
1) ¿por Qué tenemos un ortonormales subconjunto? Que significa esto?? 2) ¿por Qué este ortonormales subconjunto es en $H_0^1(U)?$
Ahora, el más importante de las preguntas de la mina.
Una. Es cierto que $(w_k)_{k=1}^{\infty}$ forma una base ortogonal de $H_0^1(U)$, en vista de la aproximación de Galerkin de soluciones débiles en Chapt 7. Cómo comprobar esto?
B. En vista de la prueba a continuación, $(w_k)_{k=1}^{\infty}$ no puede ser ortonormales base de $H_0^1(U).$ (a Pesar de que la versión a escala). Alguien puede dar una prueba, tal vez un contradictorio argumento?
Estoy buscando una prueba de que hacer uso de la definición de $H_0^1$ interior del producto y de la integración por partes, en lugar de inferir a partir de (6) y (7).
