Mostrar que un conjunto no está limitado

Question

Muestre que el conjunto$ \left\{\dfrac{1}{x^2-1}\mid x\in(0,1)\right\} $ no está limitado.

Deberíamos suponer que está limitado, y luego tratar de demostrar lo contrario, pero no sé por dónde empezar.

Answer 1

Esta es un forma de hacerlo:

1. Permita que$M< 0$ sea candidato para un límite
2. Resuelve$\frac{1}{x^2-1}=M-1$ (ten cuidado con las soluciones múltiples, asegúrate de que una de ellas esté en$(0,1)$)
3. Concluir$M$ no es un límite después de todo

Answer 2

$\frac{1}{x^2 - 1} < 0$ para todos $x \in (0, 1)$. Tenga en cuenta que el valor de la expresión se vuelve cada vez más negativo a medida que$x$ se acerca a 1. Por lo tanto, permita que$M < 0$ sea arbitrario. Entonces, todo lo que tiene que hacer para mostrar que$\frac{1}{x^2 - 1}$ no tiene límites es encontrar un valor especial de$x \in (0, 1)$ tal que,

$$ \ frac {1} {x ^ 2 - 1} <M $$

¿Ves cómo proceder desde allí? (Sugerencia: reorganice los términos para encontrar$x$ en términos de$M$ y asegúrese de que el valor que elija esté en$(0, 1)$).