Definición del espacio topológico en términos de conjuntos abiertos

Question

Me cuesta un poco entender la definición de un espacio topológico en términos de conjuntos abiertos. Supongamos que estamos definiendo una topología en la línea real, en teoría podríamos seleccionar arbitrariamente los elementos de los conjuntos abiertos, siempre y cuando el conjunto de todos los conjuntos abiertos satisfaga las propiedades de un espacio topológico.

Answer 1

La respuesta a su pregunta concreta es sí Si se le da un conjunto $X$ entonces (¡incluso en la práctica!) puede elegir cualquier colección $\{U_i\}_{i \in I}$ de subconjuntos de $X$ que (i) contiene el conjunto vacío y $X$ mismo, (ii) es cerrado bajo la operación de intersecciones finitas y (iii) es cerrado bajo la operación de uniones arbitrarias, y entonces esta familia será los conjuntos abiertos para una topología única sobre $X$ .

De hecho, todo lo anterior no es más que la definición de una topología sobre un conjunto $X$ . Pero seamos sinceros: es una definición bastante profunda y general, sobre todo al principio.

Se pueden definir absolutamente topologías "extrañas" en la línea real. Por ejemplo, una famosa es la topología de límite inferior en la que se decreta que los conjuntos abiertos son uniones de intervalos semiabiertos de la forma $[a,b)$ . Es fácil ver que esto da una familia de conjuntos abiertos estrictamente mayor que la topología "euclidiana" habitual en $\mathbb{R}$ es decir, cada intervalo abierto $(c,d)$ es una unión infinita de intervalos semiabiertos, pero no $[a,b)$ ¡es una unión infinita de intervalos abiertos! Esta topología de límite inferior tiene todo tipo de propiedades extrañas, muchas de las cuales se detallan en el artículo de la wikipedia enlazado anteriormente. De hecho, es interesante sobre todo como "contraejemplo", es decir, como ejemplo de un espacio topológico que no tiene muchas de las propiedades de los espacios más conocidos, como los espacios metrizables.

Una breve discusión de la familia de todas las topologías en un conjunto fijo $X$ se puede encontrar aquí (aunque no recomiendo necesariamente estas notas para un verdadero principiante; son algo más sofisticadas de lo necesario para una primera pasada). En particular, justo al principio he dejado como ejercicio (no tan fácil) que en cualquier conjunto infinito $X$ Hay $2^{2^{\# X}}$ diferentes topologías en $X$ . Cuando $X = \mathbb{R}$ es un número infinito muy, muy grande, más grande de lo que se suele encontrar fuera de las consideraciones de la teoría de conjuntos. Ciertamente, uno no va a encontrar la mayoría de estas topologías personalmente.

Sin embargo, hay que tener en cuenta que si se cambia la topología de "los números reales", se pierde gran parte de la estructura que los convirtió en números reales en primer lugar.

En una primera pasada por los espacios topológicos, sin duda hay que tener en cuenta el topologías métricas es decir, la topología asociada a un espacio métrico $(X,d)$ decretando que un conjunto es abierto si contiene un $\epsilon$ -bola alrededor de cada uno de sus puntos. Para este tipo de topologías se puede utilizar de forma útil la intuición espacial y analítica desarrollada en los estudios anteriores.

Cabe preguntarse: ¿por qué hablamos de espacios topológicos y no sólo de espacios métricos? Hay (al menos) dos buenas razones para ello:

1) Aunque los espacios con los que queremos trabajar sean espacios metrizables -- es decir, la topología se deriva de una métrica -- a menudo resulta que las propiedades del espacio que se quiere estudiar dependen sólo de la topología inducida por la métrica. Por ejemplo, las funciones continuas y las secuencias convergentes -- dos conceptos básicos en el análisis elemental -- son puramente topológicos de esta manera. (Podría decirse que el único concepto importante del análisis elemental que no es puramente topológico es el de secuencia de Cauchy y la noción relacionada de completitud. Incluso éstos dependen sólo de una estructura intermedia entre la métrica y la topología inducida, a saber, la estructura uniforme del espacio). Si realmente se trabaja con nociones topológicas como la convergencia, a partir de cierto punto resulta más sencillo no llevar la estructura métrica. El ejemplo estándar que me gusta dar es el de los espacios producto: si $(X_1,d_1),\ldots,(X_n,d_n)$ son espacios métricos finitos, uno quisiera discutir conceptos como la convergencia en el conjunto del producto $X = X_1 \times \ldots \times X_n$ . La experiencia demuestra que queremos, por ejemplo, que una secuencia en el producto converja si cada una de sus componentes converge. Hay una topología natural en el producto que da esta convergencia, la topología del producto . La topología del producto sobre un producto finito de espacios métricos es una topología métrica, pero no de forma canónica: incluso para poner una métrica en $\mathbb{R}^N$ hay muchas opciones, por ejemplo, el $L^p$ norma $||(x_1,\ldots,x_n)||_p := (|x_1|^p + \ldots + |x_n|^p)^{\frac{1}{p}}$ por cada $1 \leq p < \infty$ y también la norma del infinito $||(x_1,\ldots,x_n)||_{\infty} = \max_i |x_i|$ . (Kaplansky en su libro Teoría de conjuntos y espacios métricos describe esta situación como una "vergüenza de riquezas"). Cuando uno quiere el producto de una familia contablemente infinita de espacios métricos, existe de nuevo una topología obvia que resulta ser inducida por una métrica, pero ahora se vuelve ligeramente complicado escribir una única métrica. Pero la topología del producto existe -y es muy natural y se comporta bien- para cualquier familia de espacios topológicos.

2) Sorprendentemente -incluso espeluznantemente- en muchas partes de las matemáticas aparecen espacios topológicos que están lejos de ser metrizables. Por ejemplo, las topologías no Hausdorff son útiles en el análisis funcional, la geometría algebraica y la teoría del orden. Algunos ejemplos:

a) Como en el caso anterior, cualquier familia $\{X_i\}_{i \in I}$ de espacios topológicos (digamos no vacíos) admite un espacio producto $X = \prod_i X_i$ . Aunque todos los espacios $X_i$ son metrizables, entonces, mientras un número incontable de ellos esté formado por más de un solo punto, la topología del producto ni siquiera será primero contable, y mucho menos metrizable. Pero, aun así, cualquier producto de espacios de Hausdorff es de Hausdorff y cualquier producto de espacios compactos es compacto: son hechos inmensamente útiles. Tomando productos "grandes" de espacios -y en particular del intervalo $[0,1]$ -- aparece mucho más a menudo en la topología y en las ramas matemáticas afines de lo que se podría sospechar a primera vista.

b) Un espacio es Booleano si es compacto, Hausdorff y totalmente desconectado. Desde la perspectiva de la topología geométrica clásica, estos espacios tienen un interés bastante limitado. En efecto, si tal espacio no tiene puntos aislados y es metrizable, entonces debe ser homeomorfo al conjunto clásico de Cantor. Pero M. Stone demostró que a todo espacio booleano se le puede asociar un anillo booleano y a la inversa: existe una (anti)equivalencia categórica entre los espacios booleanos y los anillos booleanos. (En términos más generales, existe una equivalencia entre los espacios localmente compactos de Hausdorff totalmente desconectados y los anillos booleanos sin identidad multiplicativa).

c) Un espacio es Alexandroff si la intersección de cualquier colección de conjuntos abiertos es de nuevo abierta. Los ejemplos obvios son los espacios discretos y los espacios finitos. De hecho, no es difícil demostrar que un espacio de Hausdorff es Alexandroff si es discreto, así que al estudiar los espacios de Alexandroff interesantes estamos dejando los espacios de Hausdorff muy atrás. Cada $T_0$ -El espacio de Alexandroff determina un ordenamiento parcial en el conjunto subyacente y, a la inversa, dado un conjunto parcialmente ordenado se puede definir una topología de Alexandroff. De este modo se obtiene una equivalencia entre $T_0$ -Espacios de Alexandroff y conjuntos parcialmente ordenados. (De forma más general, existe una equivalencia entre los espacios de Alexandroff y los conjuntos cuasi-ordenados, es decir, con el axioma de antisimetría eliminado).

d) Existe hasta el homeomorfismo un único espacio de 2 puntos en el que exactamente uno de los puntos es cerrado. En topología general esto se llama a veces el Espacio de Sierpinski . Podría decirse que es el espacio topológico más importante de la geometría aritmética, ya que es el espectro (en el sentido de Zariski) de cualquier anillo de valoración discreto. El germen de la idea de especialización ¡en la geometría algebraica ya está contenida en este espacio no Hausdorff de dos puntos!

Answer 2

El principal impulso en matemáticas suele ser observar algún objeto conocido y generalizar la noción. Una vez que se definieron los "intervalos abiertos" y se vio que la unión de ellos sigue siendo abierta (en el sentido de que cada punto tiene algún intervalo alrededor) y que una intersección finita también es abierta, y así sucesivamente...

Una vez que tienes, digamos, una lista de propiedades que tiene algún espacio que conoces, y quieres que las cosas se parezcan más o menos a tu espacio conocido (en este caso $\mathbb{R}$ ). Así que se empieza a buscar una generalización "correcta". En topología se descubrió que basta con pedir que los conjuntos abiertos tengan estas tres propiedades, a saber: cualquier unión, y una intersección finita de conjuntos abiertos sigue siendo abierta, el conjunto vacío y todo el espacio son también abiertos. Una vez que se tienen estas propiedades se puede hablar de convergencia y continuidad.

¿Cómo definimos la convergencia de las secuencias en la recta real? $a_n \to a$ si y sólo si, para un intervalo alrededor de $a$ que es arbitrariamente pequeño, sólo tenemos un número finito de elementos fuera del intervalo. Así que hacemos lo mismo con los conjuntos abiertos. Con el tiempo se vio que las secuencias no siempre son suficientes, y se necesita algo más fuerte (a saber redes ). La idea principal aquí, es que tomaste algo que estaba bien definido para empezar y buscaste una manera de generalizarlo para que fuera consistente y útil. Y cuando los grupos, anillos y cosas como los espacios de funciones (es decir, todas las funciones de algún conjunto $X$ a $\mathbb{R}$ o $\mathbb{C}$ ) le son útiles, de una manera u otra - podría querer definir alguna noción general que capturara la esencia en todos los espacios que encuentre, siempre que tengan ciertas propiedades.

Sobre la continuidad, resulta que se puede exigir simplemente que la preimagen de un conjunto abierto sea un conjunto abierto, y eso es suficiente para que una función sea continua. Combina esto con la convergencia y tienes que al definir los conjuntos abiertos ya sabes mucho sobre el espacio en cuestión (con la topología dada), porque sabes decir cuando algo converge y cuando las funciones son continuas, y eso es bastante.

A tu pregunta, puedes definir varias topologías diferentes en la línea real. La estándar está generada por intervalos abiertos, mientras que otras podrían tener propiedades diferentes y estarían generadas por otro tipo de conjuntos (por ejemplo, conjuntos de la forma $[a,b)$ ) o tal vez se indique explícitamente (por ejemplo, "Todo subconjunto es abierto"), pero las distintas topologías pueden tener características diferentes.

Si tienes dos topologías y tienes una base para cada una de ellas, si puedes demostrar que cada conjunto abierto de una topología contiene un conjunto abierto de la otra, puedes decir que las topologías son esencialmente iguales y tendrían las mismas propiedades. Un buen ejemplo es cuando se toma $\mathbb{R}^2$ y se toma la topología generada por las bolas abiertas (es decir, dado un punto y un radio bajo la conocida distancia euclidiana) y por los cuadrados, por ejemplo. Estas dos familias generarían la misma topología. Es decir, ambas topologías tendrán los mismos conjuntos abiertos y las mismas propiedades.

La cuestión principal, cuando se aborda un nuevo espacio y se intenta definir la topología en él, es sólo una: Quieres que la topología no sea "demasiado floja" (es decir, no hay suficientes conjuntos abiertos, por lo que nada converge realmente, y nada es realmente continuo) y no "demasiado apretada" (es decir, demasiados conjuntos abiertos, por lo que no hay suficientes funciones continuas y no convergen suficientes secuencias/redes).
No siempre es una tarea fácil, aunque muchas veces hay una forma natural de definir las cosas, así que no todo está perdido.

Answer 3

Como otros han comentado y respondido, la respuesta es, a grandes rasgos, "sí". Sólo puedo añadir que para ver ejemplos de "otras" topologías, en las que los conjuntos abiertos no son lo que se acostumbra, hay que consultar (a) los problemas de un libro de topología de conjuntos puntuales o (b) el libro Contraejemplos en topología .