El producto de $n$ enteros consecutivos es divisible por $n$ factorial

Question

¿Cómo podemos demostrar que el producto de $n$ números enteros consecutivos es divisible por $n$ factorial?

Nota: En esta pregunta posterior y los comentarios aquí, el OP ha aclarado que busca una demostración que "no use las propiedades de los coeficientes binomiales". Por favor, envíen respuestas en dicho hilo más nuevo para que esta pregunta incorrectamente planteada pueda cerrarse como duplicada.

Answer 1

Esto es casi inmediato debido a que el coeficiente binomial $$\binom{k+n}{k}$$ es un número entero. Simplemente escribe el producto $(k+1) \cdots (k+n)$ y tendrás tu respuesta.

Answer 2

Demostremos que $m^{(k)}=m(m+1)...(m+k-1)$ es divisible por $k!$ para todo entero $m$. Inducción por $k.

$k=1$: Todo entero $m$ es divisible por $1$

$k\to k+1$:

• inducción por $m$: $m=0$: $0^{k+1}=0$ es divisible por $(k+1)!$

  $m\to m+1$: $(m+1)^{(k+1)}=(m+1)(m+2)...(m+k+1)$

  \=$(k+1)(m+1)...(m+k)+m^{(k+1)}=(k+1)(m+1)^{(k)}+m^{(k+1)}$

  y el primer término es divisible por $(k+1)\cdot k!=(k+1)!$ debido a la inducción por k y el segundo término es divisible por $(k+1)!$ debido a la inducción por $m$

  lo mismo funciona para $m\to m-1$

Actualización: Oops, básicamente la misma prueba encontrada en el hilo mencionado en esta respuesta.

Answer 3

Una versión más clara de la demostración de NurdinTakenov. Prefiero la notación de Knuth, y los factoriales descendentes son más agradables de trabajar:

$\begin{equation*"> m^{\underline{k}} = m (m - 1) \ldots (m - k + 1) \end{equation*}$

Primero:

$\begin{align*"> (m + 1)^{\underline{k}} - m^{\underline{k}} &= (m + 1) \cdot m^{\underline{k - 1}} - m^{\underline{k - 1}} \cdot (m - k + 1) \\ &= k \cdot m^{\underline{k - 1}} \end{align*}$

Entonces:

$\begin{align*"> \sum_{0 \le r \le m - 1} r^{\underline{k}} &= \frac{m^{\underline{k + 1}}}{k + 1} \end{align*}$

Ahora la demostración por inducción sobre $k$ se realiza fácilmente:

Base: Si $k = 0$, tenemos que $0! \mid m^{\underline{0}}$, que es simplemente $1 \mid 1$.

Inducción: Supongamos que $k! \mid m^{\underline{k}}$ para todos los $m$. Entonces:

$\begin{align*"> m^{\underline{k + 1}} &= (k + 1) \sum_{0 \le r \le m - 1} r^{\underline{k}} \end{align*}$

Por inducción, cada término de la suma es divisible por $k!$, por lo que el lado derecho es divisible por $(k + 1) k! = (k + 1)!$.

Si $k > m$, entonces uno de los factores en $m^{\underline{k}}$ es cero, y el resultado es trivial.

Si $m$ es negativo, es claro que $m^{\underline{k}} = (-1)^k \lvert m \rvert^{\underline{k}}$, extendiendo lo anterior para que también cubra este caso.

Answer 4

Es posible que te interese esta entrada del blog de Timothy Gowers:

http://gowers.wordpress.com/2010/09/18/are-these-the-same-proof/

Answer 5

La identidad que se muestra a continuación indica que el problema es equivalente a que los coeficientes binomiales sean enteros, para lo cual se conocen varias pruebas, por ejemplo, utilizando su recursión, o su conocida interpretación combinatoria, o su minimalidad en términos de divisores primos - ver esta pregunta previa

$${m\choose n}\ =\ \frac{m!/(m-n)!}{n!}\ =\ \frac{\overbrace{m\:(m-1)\:\cdots\:(m-n+1)}^{\text{producto de $\,n\,$ enteros consecutivos}}}{n!}\qquad$$