Variables normales, integrabilidad uniforme y límite de una martingala

Question

Estoy atascado en el siguiente problema! Sería grande si usted puede ayudar.

Supongamos que usted ha $(Y_n)_{n\in \mathbb N}$, una secuencia de independientes e idénticamente distribuidas variables aleatorias, $Y_1 \sim \mathcal N (0,\sigma^2)$. Definir $(\mathcal F_n)_{n\in \mathbb N}$ como la filtración natural, $\mathcal F_n = \sigma(Y_1,...,Y_n)$.

Definimos ahora dos procesos: $X_n = Y_1 + ... + Y_n$$Z_n^u = \exp\left(\displaystyle uX_n - \frac{nu^2\sigma^2}2 \right)$.

Desde $(Z_n^u)$ es una martingala acotada en $\mathcal L^1$ ( $\sup_n E(|Z_n^u|) < \infty$ ), converge casi seguramente a una variable aleatoria $Z_\infty^u \in \mathcal L^1$ $-$para cada $u\in \mathbb R$$-$ en virtud de la Doob del supermartingale teorema de convergencia.

Mi pregunta principal es: ¿cómo uno puede encontrar el límite? Para que los valores de $u$ es cierto que $Z_n^u = \mathbb E (Z_\infty^u | \mathcal F_n)$?

Un conocido teorema dice que $Z_n^u = \mathbb E (Z_\infty^u | \mathcal F_n)$ es cierto cuando se $Z_n^u \to Z_\infty^u$$L^1$, o la secuencia de $(Z_n)$ es uniformemente integrable, pero no sé cómo mostrar que ninguna de estas condiciones.

Answer 1

Tenga en cuenta que $T_n=uX_n - \frac12nu^2\sigma^2$ define un paseo aleatorio $(T_n)$ cuyos pasos han significar $E(uY_1- \frac12u^2\sigma^2)=- \frac12u^2\sigma^2\lt0$ si $u\ne0$ por lo tanto, para cada $u\ne0$, $T_n\to-\infty$ casi seguramente, $Z^u_\infty=0$ casi seguramente y $Z^u_n\ne E(Z^u_\infty\mid\mathcal F_n)$. El caso de $u=0$ es directo.

Answer 2

Usted debe decir el hipothesis acerca de la secuencia de $(Y_n)$. Si $Y ~ ber(1/2)$ el resultado es false.