Ayuda con particiones, clases de equivalencia, las relaciones de equivalencia.

Question

Las siguientes definiciones y los resultados son de mi libro de texto.

Una partición de $\mathcal{P}$ de un conjunto $X$ es una colección de conjuntos no vacíos $X_1, X_2, \dots$ tal que $X_1 \cap X_j = \emptyset$$i \neq j$$\bigcup_k X_k = X$. Deje $\sim$ ser una relación de equivalencia en un conjunto a $X$ y deje $x \in X$. A continuación, $[x] = \{y \in X: y \sim x\}$ se llama clase de equivalencia de a $x$. Vamos a ver que una relación de equivalencia que da lugar a una partición, a través de clases de equivalencia. También, cuando una partición de un conjunto existe, hay algunas natural subyacente de equivalencia de la relación, como el siguiente teorema demuestra.

Teorema. Dada una relación de equivalencia $\sim$ sobre un conjunto $X$, las clases de equivalencia de a $X$ forma una partición de $X$. Por el contrario, si $\mathcal{P} = \{X_i\}$ es una partición de un conjunto $X$, entonces no es una relación de equivalencia en $X$ con clases de equivalencia $X_i$.

Corolario. Dos clases de equivalencia de una relación de equivalencia son distintos o iguales.

Esto es genial y todo, pero realmente no entiendo cómo encontrar las particiones en la práctica... alguien me puede ayudar? Una explicación intuitiva de por qué las particiones surgir/la conexión entre la partición, clases de equivalencia, y las relaciones de equivalencia también sería muy útil. Gracias.

Answer 1

Las relaciones de equivalencia (que son, básicamente, 'el mismo' como particiones por el Teorema) surgen por todas partes.

Para un ejemplo genérico, cualquier función de $f:A\to B$ determina una relación de equivalencia en $A$ $a\sim a'$ fib $f(a)=f(a')$.

E. g. dos personas son equivalentes con respecto a su altura si tienen la misma altura (en este caso $f$ mapas de una persona de su altura, por ejemplo en el entero milímetros). A continuación, la partición (que consta de las clases de equivalencia) divide a las personas en tantos grupos como muchos posibles alturas.

Usted puede encontrar una infinidad de otros ejemplos.

Answer 2

Mientras que Brian vínculo es el bien de una respuesta que nunca sería capaz de dar a los aspectos técnicos, me gustaría señalar que las relaciones de equivalencia y de clases de equivalencia son una de las herramientas más comunes utilizados en matemáticas. Las usamos todo el tiempo para eliminar los aspectos de una construcción en la que no nos interesa, dejando sólo lo que somos, después a la izquierda detrás.

Un ejemplo práctico de la topología diferencial: se empieza con una forma cuadrada región del avión, con los vértices etiquetados a, B, C, D. Este es un ejemplo de un "manifold con frontera", el límite está en los bordes de la plaza. Nuestro propósito para deshacerse de la frontera, lo que nos deja con una compacta (finito en tamaño) colector sin límite. Hacemos esto mediante la construcción de las relaciones de equivalencia que preservan la estructura que queremos (cercanía) mientras que deshacerse de la frontera que no.

Voy a producir 4 las relaciones de equivalencia. Cada uno nos da una diferente colector. Los cuatro tienen esto en común: cada punto interior de la plaza es equivalente sólo a sí misma. Y todos los bordes punto es equivalente a exactamente uno de los otros borde de punto, (a excepción de los vértices). Cómo se diferencian es en la forma que estos puntos son cosidos juntos. Indicar los 4 lados de sus extremos: $AB, BC, CD, DA,$ o $BA, CB, DC, AD$. Cuando digo que lado de la $XY \sim WZ$, me refiero a que $X \sim W, Y \sim Z$ y cualquier punto en $XY$ a pie $t$ $X$ será equivalente a (y sólo) el punto en $WZ$ a una distancia de $t$$W$.

1. La relación (1) hace $AB \sim AD$$BC \sim DC$.
2. La relación (2) hace $AB \sim DC$$AD \sim BC$.
3. La relación (3) hace $AB \sim DC$$AD \sim CB$.
4. La relación (4) hace $AB \sim CD$$AD \sim CB$.

Para cada relación, se forma un nuevo espacio fuera de las clases de equivalencia. Las clases de equivalencia son los propios puntos de nuestro nuevo colector. Ya que en todas las relaciones, los puntos del interior de la plaza son equivalentes sólo a sí mismos, cada uno de ellos se muestran como un singleton en nuestro nuevo espacio. Efectivamente, el interior de los puntos son iguales. En los bordes, el equivalente a los puntos se combinan por medio de la relación de equivalencia para formar un solo punto. Estas las relaciones de equivalencia preservar el concepto de "proximidad" (que para simplificar, voy a dejar tan intuitivo), así que podemos pensar en ella como "la flexión de la escuadra y pegar los bordes juntos". Salvo que mediante el uso de las relaciones de equivalencia, que en realidad no tienen a la urdimbre de la plaza en el espacio. Tenemos lo que necesitamos sólo desde la lógica de la relación.

La relación (1) nos da una superficie que se comporta exactamente igual que una esfera. Y por eso, la llamamos la esfera.

La relación (2) nos da una superficie que se comporta exactamente igual que un toro (la superficie de una forma de donut).

La relación (3) nos da una superficie llamada la Botella de Klein. Es unorientable (tiene sólo un lado, como una cinta de moebius), y no existe en 3D en el espacio Euclidiano, excepto como una auto-intersección de la superficie.

La relación (4) nos da una superficie se llama el Plano Proyectivo. También es unorientable y también no existe en 3D en el espacio Euclidiano, excepto por la intersección.

Así, mediante el uso de estos las relaciones de equivalencia, soy capaz de construir estos 4 superficies de una forma que me permite ver cómo se relacionan y cómo se diferencian. Y a explorar sus propiedades mediante el examen de la conducta en un cuadrado. Cada una de las materias de matemáticas está repleta de ejemplos similares.

Answer 3

Algo cínica respuesta es que no podemos encontrar en la práctica. La definición de las relaciones de equivalencia es fácil, por lo que y utilizar el teorema de decir que debe ser de las particiones.

Lo que sucede en la práctica es tomar "representantes" de las particiones. Podemos tener una partición de $P$, y elige un miembro de la $x$ y le llaman el representante de la partición. A continuación, nos gustaría que se refieren a $P$ $[x]$ por la simplicidad. A menudo nos preocupamos de que algunos de operación (tal vez, además, tal vez algo más miedo) actúa muy bien en $[x]$. Así que si tenemos $x,y \in [x]$ y algunas de las funciones $f$, realmente nos gusta cuando $f(x)=f(y)$,$f([x])=f([y])$. En realidad nunca nos necesita a 'calcular' o 'buscar' la partición.

Para responder a su última pregunta que nos formulario de particiones cuando tenemos demasiado cosas". Cuando la formación de los reales, todas racional secuencias de Cauchy, que es demasiado material. Luego nos cociente de 'secuencias' (co-Cauchy) para obtener los reales.