Este es mi primer post en mathstack a pesar de que he visitado mucho por aquí. Creo que esta comunidad es grande y "enseña" a muchas cosas que no son discutidos en clase, por lo que debo agradecer a todos los que active asesores de aquí. Pero a la pregunta. Esta es mi tarea problema y me gustaría tener comentarios en mi prueba.
Deje $V$ ser una normativa espacio. Mostrar que $V$ es separable $\Leftrightarrow$ unidad esfera $S=\{x\in V: \lVert x\rVert=1\}$ es separable.
Prueba:
"$\Rightarrow$ ": Debido a que $V$ es espacio métrico, a continuación, $V$ es separable $\Leftrightarrow$ $V$ es 2ª contables. Por lo tanto, $S$ hereda 2º countability y también de espacio métrico es así separables.
"$\Leftarrow$": Suponga que el $S$ es separable. A continuación, contiene contables subconjunto denso $A\subset S$ s.t. $\bar{A}=S$. Ahora define un conjunto $$Q=\bigcup\limits_{q\in\mathbb{Q}}qA,$$ where $qA=\{qa:\en\}$. $P$ is countable union of countable sets and thus countable. We then show that $\bar{Q}=V$. Let $x\in V$. We can assume that $x\neq 0$, because $0\en Q$. Now $$\frac{x}{\lVert x\rVert}\in S.$$ Because $\bar{\mathbb{Q}}=\mathbb{R}$, there exists sequence $q_n\in\mathbb{Q}$ s.t. $q_n\rightarrow \lVert x\rVert$. Also, because $\bar{Un}=S$, there exists sequence $a_n\en$ s.t. $a_n\rightarrow \frac{x}{\lVert x\rVert}$. Then $$q_n a_n\in q_n A\subset\bigcup\limits_{q\in\mathbb{Q}}qA=Q \quad \forall n $$ and $$q_n a_n\rightarrow \lVert x\rVert\cdot \frac{x}{\lVert x\rVert}=x. $$ Therefore $x\in\bar{Q}$ y hemos terminado (?).
