Comprobando la desigualdad usando Induction$a^n-b^n \leq na^{n-1}(a-b)$

Question

Trataba de probar esta desigualdad usando inducción, pero no podía hacer.

Pregunta: Supongamos que$a$ y$b$ son números reales con$0 < b < a$. Demuestre que si$n$ es un entero positivo, entonces:

ps

Answer 1

Querrá usar eso$$a^n-b^n=(a-b)\sum_{k=0}^{n-1}a^{n-k-1}b^{k}$ $

¿Qué puedes decir sobre los poderes de$a,b$ dado$0<b<a$? *

SPOILER

Desde que tenemos $0<b<a$

así

ps

Answer 2

Usted puede utilizar el valor medio el teorema de mostrar esto: Definir $f(x) = x^n$$[b, a]$, claramente, $f(x)$ es diferenciable en a $(b, a)$ y continua en $[b, a]$. Por MVT, existe $\xi \in (b, a)$ tal que $$a^n - b^n = f(a) - f(b) = f'(\xi)(a - b) = n\xi^{n - 1}(a - b) \leq na^{n - 1}(a - b)$$ como $\xi < a$.

Answer 3

Aquí hay otro algo relacionado con la desigualdad: $$ a^n - b^n > n(a-b)(ab)^{(n-1)/2} $$ where $ a > b > 0 $ and $ n \geq 1 $. Aquí es una simple prueba: $$a^n-b^n=(a-b)\sum_{k=0}^{n-1}a^{n-k-1}b^{k}$$ Ahora aplicar AM-GM de la desigualdad en la suma de los términos:

\begin{align} \sum_{k=0}^{n-1}a^{n-k-1}b^{k} &< n \sqrt[n]{\prod_{k=0}^{n-1}{a^{n-k-1}b^{k}}} \\ &= n \sqrt[n]{a^{\sum_{k=0}^{n-1}{(n-k-1)}} \, b^{\sum_{k=0}^{n-1}{k}}} \\ &= n \sqrt[n]{a^{n(n-1)/2} \, b^{n(n-1)/2}} \\ &= n (ab)^{(n-1)/2} \end{align}