¿Es el anillo de funciones holomorphic en $S^1$ noetheriano?

Question

Deje $S^1={\{ z \in \Bbb{C} : |z|=1 \}}$ ser el círculo unidad.

Deje $R= \mathcal{H}(S^1)$ ser el anillo de holomorphic funciones en $S^1$, es decir, el anillo de las funciones de $f: S^1 \longrightarrow \Bbb{C}$ que puede ser extendido a un holomorphic función en un barrio de $S^1$. Mi pregunta es:

Es $R$ es un Noetherian anillo?

Lo que he intentado:

Podemos pensar $R$ como límite de $$R= \lim_{\longrightarrow} \mathcal{H}(\Omega_n)$$ donde $\Omega_n = \{ z \in \Bbb{C} : 1-\frac{1}{n} < |z| < 1+\frac{1}{n}\}$ denota el abierto anillo de la amplitud de la $2/n$$n\ge3$, y $$\mathcal{H}(\Omega_3) \longrightarrow \mathcal{H}(\Omega_4) \longrightarrow \mathcal{H}(\Omega_5) \longrightarrow \dots$$ es un sistema directo de los anillos cuyos mapas son restricciones. Ya que las restricciones son inyectiva anillo de morfismos, podemos pensar $R= \bigcup_n \mathcal{H}(\Omega_n)$

En particular, $R$ es un Bezout de dominio (cada finitely generado ideal de $R$ es el principal). Ahora, si $R$ fueron Noetherian, a continuación, $R$ sería un PID.

Y aquí me quedé atrapado:

1. podría ser posible que esto no es Noetherian ya que se trata de una unión de la no-Noetherian anillos

2. por otro lado $S^1$ es compacto, por lo que cada función $f \in R$ sólo puede tener un número finito de ceros: esto me da la intuición de que tal vez la $R$ es un UFD.

Answer 1

El anillo de $R= \mathcal{H}(S^1)$ es tanto noetherian y factorial.

a) Noetherianity sigue de Theorème (I,9) página 123 de esta Inventiones papel de J. Frisch.
Él demuestra que dado un complejo analítica del espacio $X$ y un subconjunto compacto $K\subset X$, el anillo de $\mathcal{H}(K)$ es noetherian tan pronto como $K$ es real semi-analíticos y tiene una base de abrir Stein barrios.
Que la última condición de curso contiene en su caso $K=S^1$ desde cualquier subconjunto abierto de $X=\mathbb C$ es Stein !

b) Que $R$ es factorial sigue por el teorema 1 página 89 de este artículo por los Valles.
Él demuestra que dado un complejo suave analítica del espacio (aka holomorphic colector!) y un subconjunto compacto $K\subset X$ como en la parte a) se tiene la equivalencia $$\mathcal{H}(K) \operatorname {is a UFD} \iff H^2(K,\mathbb Z)=0$$ Desde $H^2(S^1,\mathbb Z)=0$ vemos, tomando $K=S^1\subset X=\mathbb C$, que, de hecho, $\mathcal{H}(S^1)$ es un UFD.