Una es un I-ádico completa Noetherian anillo. M es un finitely generado Un módulo. Para cualquier n>0, $M/I^nM$ es un finitely generados localmente libre de Una/I^n-módulo. Es M necesariamente un local libre de Un módulo?
Respuesta
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JimmyJ
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La respuesta es sí.
1) $A$ $I$- ádico completa implica que $I \subset rad(A)$, la intersección de todos los máximos de los números primos. De hecho, elija cualquiera de los $a \in I$. Ver el $1-a + a^2 -a^3 ... \in A $ (esto es, en donde utilizamos la integridad). La inversa de esto es $1+a$, lo $1+a$ es una unidad. Como esto es cierto para cualquier $a\in I$, $I\subset rad(A)$ (ver la Sección 1 Matsumura).
2) basta probar que $M$ es gratis en cualquier ideal maximal $m$$A$. Desde $I$ está dentro de $m$, bien podemos reemplazar $A$ $A_m$ y asumen $A$ es local. Por supuesto, a continuación,$M/I \cong (A/I)^l$, Nakayama Lema muestra que $l$ es el mimimum número de generadores de $M$.
Mira el comienzo de una resolución mínima de M: $ N \to F=A^l \to M $.El último mapa de convertirse en isomorfismo cuando tensoring con $A/I^n$, por lo que el primer mapa que se ha convertido $0$. Esto significa que $N \subset I^nF$ todos los $n>0$. Esto obliga a $N=0$ (uso de Artin-Rees lema), lo $M \cong F$.
