¿Qué es exactamente un $n$-ésima raíz en un campo?

Question

Lo que se quiere decir cuando se dice que un finito campo contiene un $n$th raíz de $a$? Es una exquisita forma de decir que el grupo multiplicativo de que el campo tiene un elemento $x$ tal que $x^n=a$? Si $a=-1$, es equivalente a decir que el grupo contiene un elemento de orden $2n$?

¿Qué pasa si el campo es infinito?

Answer 1

Sí. Una $n$-ésima raíz de $a$ es una solución de $x^n = a$. El campo puede ser finito o infinito.

Una $n$-ésima raíz de $1$ es una solución de $x^n=1$. Por ejemplo, podría ser $1$. No hay ningún significado implícito que un $n$-ésima raíz de $1$ realmente tiene orden de $n$. Una $n$-ésima raíz de $-1$ no tienen necesidad de orden $2n$. Por ejemplo, $3$rd raíz de $-1$ es el nombre de una solución de $x^3 = -1$. Una de estas soluciones es $-1$, que en el carácter no $2$ orden $2$, no $2n = 6$.

Answer 2

Complementa las otras respuestas un poco porque la OP comentario a KCd la respuesta planteó la necesidad de este.

Se puede decir que un poco más!

Sin duda usted ha visto el siguiente resultado, cuando se estudian grupos cíclicos.

Hecho 1. Si $c$ orden $n$, luego el orden de $c^k$ está dado por la fórmula $$\operatorname{ord}(c^k)=\frac{n}{\gcd(n,k)}.$$

Esto nos lleva a la siguiente (yo la he utilizado muchas veces, cuando la respuesta a una pregunta sobre campos finitos).

Hecho 2. Suponga que $p$ es un número primo, $x^p=a$, $k=\operatorname{ord}(a)$ es divisible por $p$. Entonces $$\operatorname{ord}(x)=pk.$$

Prueba. Deje $m=\operatorname{ord}(x)$. El primer hecho nos dice que $$k=\frac{m}{\gcd(m,p)}.$$ Debido a $p$ es un primer que $\gcd$ es $1$ o $p$, por lo que tendremos a $k=m$ o $k=m/p$. O, equivalentemente, $m=k$ o $m=pk$. Pero, $p\mid k$, por lo que $$x^k=(x^p)^{k/p}=a^{k/p}\neq1.$$ Por lo tanto,$m\neq k$, lo $m=pk$. QED.

Ejemplo. Si $K$ es un campo de caracteres $\neq2$ (de modo que $-1\neq1$), y $a^2=-1$, $a$ orden $4$.

Así que el primer hecho siempre se limita a las órdenes de las raíces de un elemento de un orden. Nosotros del mismo modo vemos que es una raíz cúbica de un elemento de orden $9$ orden $3\cdot9=27$. Pero, una raíz cúbica de un elemento de orden $8$ ha pedido bien $8$ o $24$. De hecho, ambas posibilidades se producen como se puede comprobar fácilmente en el campo de los números complejos. Cubicación permutes las soluciones de $z^8=1$, por lo que una raíz cúbica de un elemento de orden ocho también ha pedido ocho.

Answer 3

Deje $F$ ser un campo. Deje $a \in F$. Deje $n \in \Bbb N$.

Decimos que $F$ tiene un n^th raíz de $a$ si no es $x \in F$ tal que $x^n = a$ (softonic no requieren estar en el grupo multiplicativo).

Si $a = -1$ $F$ no es de carácter $2$, entonces si $x^n = -1$, entonces sabemos que el orden de $x$ divide $2n$. Lo hace no significa que $x$ orden $2n$ (por ejemplo,$x=-1$, $n=3$).

No importa si el campo es finito o infinito.