Integración por partes, trigonométricas sustitución de u y dv?

Question

He estado tratando de resolver una integración de expresión. El exression estoy tratando de resolver:

$$\int_0^1 {\frac{3x^3-x^2+2x-4}{\sqrt{x^2-3x+2}}}\mathrm{d}x.$$

Me han abordado el problema desde diferentes ángulos, pero solo voy a tocar en la solución que parece prometedor.

Parece ser una parte integral del producto de dos funciones de x, de manera que la integración por partes es actualmente la más favorable enfoque (frente a la simple sustitución o parcial de las fracciones).

$$\int {u\mathrm{d}v} = uv - \int {v\mathrm{d}u}$$

Sólo necesitamos ahora para definir $u$ $\mathrm{d}v$ adecuadamente. Por ahora, voy a ignorar el polinomio en el numerador como esta es una recta hacia adelante de la función a integrar o encontrar la derivada.

Vamos a centrar nuestra atención a la segunda función de $x$ en esta integrando, que por ahora se considera ser $\mathrm{d}v$:

$$\mathrm{d}v = \frac{1}{\sqrt{x^2-3x+2}}\mathrm{d}x$$

Por desgracia, esto no es un cuadrado perfecto, pero veo que son capaces de factor de $(x-1)^2$ nos proporciona un clásico trigonométricas sustitución posibilidad.

$$\mathrm{d}v = \frac{1}{\sqrt{(x-1)^2-1}}\mathrm{d}x$$

Si sustituimos $(x-1) = \sec(w)$, $\mathrm{d}x = \sec(w)\tan(w)\mathrm{d}w$ y la ecuación se resuelve:

$$\mathrm{d}v = \frac{1}{\sqrt{\sec^2 w-1}}\sec{(w)}\tan{(w)}\mathrm{d}w = \frac{1}{\sqrt{\tan^2{(w)}}}\sec{(w)}\tan{(w)}\mathrm{d}w$$

$$\mathrm{d}v = \sec{(w)} dw$$

que luego da

$$v = \ln{|\sec{(w)} + \tan{(w)}|}$$

Aquí es donde me parece que no puede terminar esto. Necesito convertir esto en una función de $x$, no $w$ de lo contrario me terminan con un extraño integral que involucra el polinomio derivitive, $du$ como una función de la $x$ y, a continuación, como una función de la $w$.

Yo, obviamente, puede manejar el $\sec$ función, pero el $\tan$ I no se puede volver a convertir a una simple función de $x$.

Y a menos que haya un trig truco aquí, no veo cómo esto puede ser usado en el resto de la integral de la $\int{v\mathrm{d}u}$

Por el contrario, podríamos decir que

$u = \cot{w}$ $\mathrm{d}u = -\sec^2{(w)}\mathrm{d}w$

y de nuevo, no veo cómo utilizar este en el resto de la integral.

$$(x-1) = \sec{(w)}$$

$$\mathrm{d}x = \sec{(w)}\tan{(w)}\mathrm{d}w$$

así

$$\mathrm{d}u = \frac{-(x-1)^2}{\sec{(w)}\tan{(w)}}\mathrm{d}x$$

No estoy seguro de cómo convertir de nuevo a una sola función de $x$. Tal vez estoy espacio de la tangente a la identidad que me ayudaría.

Solo para aclarar, yo he probado factorizando los polinomios en el numerador como $(x-1)$, $(x-2)$ que no factor, pero no tanto de ellos, así como a $2x-3$ (tal vez hacer que la sustitución sea posible), pero fue en vano. No he sido capaz de simplificar el problema más que esto.

Los pensamientos?

EDITAR - creo que he cometido un error con mi denominador de factoring.

Toda cosa que se considera, la integral parece simplificar a:

$\int_0^1 {\frac{3x^2+2x+4}{\sqrt{\frac{(x-2)}{(x-1)}}}}$

Voy a probar un par de cosas de esta.

Answer 1

Voy a empezar desde el principio y ofrecer mi propio método

En primer lugar, usted querrá para simplificar el integrando un poco. La división larga da

$$3x^2 - x^2 + 2x - 4 = (3x+8)(x^2-3x+2) + 20x - 20$$

Así

$$\frac{3x^3-x^2+2x-4}{\sqrt{x^2-3x+2}} = (3x+8)\sqrt{x^2-3x+2} + \frac{20x-20}{\sqrt{x^2-3x+2}}$$

A continuación, complete el cuadrado de la raíz

$$x^2 - 3x + 2 = \left(x-\frac32\right)^2-\frac14$$

Sustituto $u = x-\frac32$ a simplificar obtener la integral

$$I = \int \left[\left(3u + \frac{25}{2}\right)\sqrt{u^2-\frac14} + \frac{20u+10}{\sqrt{u^2-\frac14}}\right]du$$

Romper esta más abajo en 4 términos independientes

$$I= \underbrace{\int 3u\sqrt{u^2-\frac14}\ du}_{I_1} + \underbrace{\int\frac{25}{2}\sqrt{u^2-\frac14}\ du}_{I_2} + \underbrace{\int\frac{20u}{\sqrt{u^2-\frac14}}du}_{I_3} + \underbrace{\int\frac{10}{\sqrt{u^2-\frac14}}du}_{I_4}$$

Para$I_1$$I_3$, simplemente sustituya $s = u^2-\frac14$.

Para$I_2$$I_4$, el uso de un trig subtitution $u = \dfrac{\sec t}{2}$, o un hiperbólico la sustitución de $u = \dfrac{\cosh t}{2}$. Sugiero la hiperbólica de sustitución, ya que le dará más simple de las integrales.

La integral, en $u$, debería ser algo como esto

$$I = \left(u^2-\frac14\right)^{3/2} + 20\sqrt{u^2-\frac14} + \frac{25}{4}u\sqrt{u^2-\frac14} + \frac{135}{16}\cosh^{-1}u + C$$